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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入样本均值 x=2.1x=2.1，样本方差 s2=0.01s^2=0.01. 已知该种植区以往亩收入 X∼N(1.8,0.1)X\sim N(1.8,0.1)，假设推动出口后的亩收入 Y∼N(x,s)Y\sim N(x,s)，则（ ）（若 Z∼N(u,σ)Z\sim N(u,\sigma)，则 P(Z<u+σ)≈0.8413P(Z<u+\sigma)\approx0.8413）
A.
P(X>2)>0.2P(X>2)>0.2
B.
P(X>2)<0.5P(X>2)<0.5
C.
P(Y>2)>0.5P(Y>2)>0.5
D.
P(Y>2)<0.8P(Y>2)<0.8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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096分概率与统计★★★☆☆
有一组样本数据 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6，其中 x1x_1 是最小值，x6x_6 是最大值，则（ ）
A.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的平均数等于 x1,x2,…,x6x_1,x_2,\dots,x_6 的平均数
B.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的中位数等于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的中位数
C.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的标准差不小于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的标准差
D.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的极差不大于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的极差

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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055分概率与统计★★★☆☆
从 22 至 88 的 77 个整数中随机取 22 个不同的数，则这 22 个数互质的概率为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
23\dfrac23

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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2015分概率与统计★★★☆☆
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100100 人（称为对照组），得到如下数据：
(1) 能否有 99%99\% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2) 从该地的人群中任选一人，AA 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，BB 表示事件“选到的人患有该疾病”. P(B∣A)P(B‾∣A)\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)} 与 P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)\frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)} 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 RR.
(i) 证明：R=P(B∣A)P(B‾∣A)÷P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)=P(A∣B)P(A‾∣B)⋅P(A‾∣B‾)P(A∣B‾);R=\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)}\div \frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)}=\frac{P(A\mid B)}{P(\overline A\mid B)}\cdot \frac{P(\overline A\mid \overline B)}{P(A\mid \overline B)}; (ii) 利用该调查数据，给出 P(A∣B)P(A\mid B)，P(A∣B‾)P(A\mid \overline B) 的估计值，并利用（1）的结果给出 RR 的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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085分概率与统计★★★☆☆
有 66 个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中有放回地随机取两次，每次取 11 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 11”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 22”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 88”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 77”，则（ ）
A.
甲与丙相互独立
B.
甲与丁相互独立
C.
乙与丙相互独立
D.
丙与丁相互独立

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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19概率与统计★★★☆☆
某家庭记录了未使用节水龙头 5050 天的日用水量数据（单位：m3\text{m}^3）和使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
(1) 作出使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m30.35\text{ m}^3 的概率； (3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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12概率与统计★★★☆☆
在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示.
130\quad 0\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 6\quad 8\quad 8\quad 8\quad 9
141\quad 1\quad 1\quad 2\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 4\quad 4\quad 5\quad 5\quad 5\quad 6\quad 6\quad 7\quad 8
150\quad 1\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 3
若将运动员按成绩由好到差编为 1∼351 \sim 35 号，再用系统抽样的方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 [139,151][139,151] 上的运动员人数是______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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18概率与统计★★★☆☆
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球，5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球. 在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
(1) 求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2) 若某顾客有 3 次抽奖的机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 XX，求 XX 的分布列和数学期望.

2015 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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02概率与统计★★★☆☆
在一次马拉松比赛中，3535 名运动员的成绩（单位：分钟\text{分钟}）茎叶图如图所示.
131300，00，33，44，55，66，66，88，88，88，99
141411，11，11，22，22，22，33，33，44，44，55，55，55，66，66，77，88
151500，11，22，22，33，33，33
若将运动员按成绩由好到差编为 1∼351\sim 35 号，再用系统抽样的方法从中抽取 77 人，则其中成绩在区间[139,151][139, 151]上的运动员的人数是（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2015 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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17概率与统计★★★☆☆
某企业有甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 23\frac{2}{3} 和 35\frac{3}{5}，现安排甲组研发新产品 AA，乙组研发新产品 BB. 设甲，乙两组的研发相互独立.
(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率； (2) 若新产品 AA 研发成功，预计企业可获利 120 万元120\text{ 万元}；若新产品 BB 研发成功，预计企业可获利 100 万元100\text{ 万元}. 求该企业可获利的分布列和数学期望.
\begin{solution} 设事件 EE 为甲组研发成功，事件 FF 为乙组研发成功. 则 P(E)=23P(E)=\frac23，P(E‾)=13P(\overline E)=\frac13，P(F)=35P(F)=\frac35，P(F‾)=25P(\overline F)=\frac25. 由于两组研发相互独立，至少有一种新产品成功的对立事件是两种产品都失败，所以
P(E∪F)=1−P(E‾∩F‾)=1−13⋅25=1315P(E\cup F)=1-P(\overline E\cap\overline F)=1-\frac13\cdot\frac25=\frac{13}{15}
设企业利润为随机变量 XX，单位为万元. 两种产品的成败组合互斥且完备，故
P(X=0)=P(E‾∩F‾)=215P(X=0)=P(\overline E\cap\overline F)=\frac{2}{15}
P(X=100)=P(E‾∩F)=315P(X=100)=P(\overline E\cap F)=\frac{3}{15}，P(X=120)=P(E∩F‾)=415P(X=120)=P(E\cap\overline F)=\frac{4}{15}，P(X=220)=P(E∩F)=615P(X=220)=P(E\cap F)=\frac{6}{15}. 因此分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} XX & 00 & 100100 & 120120 & 220220\ \hline PP & 215\frac{2}{15} & 315\frac{3}{15} & 415\frac{4}{15} & 615\frac{6}{15} \end{tabular} \end{center} 数学期望为
E(X)=0⋅215+100⋅315+120⋅415+220⋅615=140E(X)=0\cdot\frac{2}{15}+100\cdot\frac{3}{15}+120\cdot\frac{4}{15}+220\cdot\frac{6}{15}=140
所以企业可获利的数学期望为 140 万元140\text{ 万元}. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某企业有甲，乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a,b)(a, b)，(a,b‾)(a, \overline{b})，(a,b)(a, b)，(a‾,b)(\overline{a}, b)，(a‾,b‾)(\overline{a}, \overline{b})， (a,b)(a, b)，(a,b)(a, b)，(a,b‾)(a, \overline{b})，(a‾,b)(\overline{a}, b)，(a,b‾)(a, \overline{b})， (a‾,b‾)(\overline{a}, \overline{b})，(a,b)(a, b)，(a,b‾)(a, \overline{b})，(a‾,b)(\overline{a}, b)，(a,b)(a, b)，其中 aa，a‾\overline{a} 分别表示甲组研发成功和失败；bb，b‾\overline{b} 分别表示乙组研发成功和失败.
(1) 若某组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分，试计算甲，乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲，乙两组的研发水平； (2) 若该企业安排甲，乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.

2014 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某人在如图所示的直角边长为 4 米4\text{ 米} 的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 YY（单位：kg\mathrm{kg}）与它的“相近”作物株数 XX 之间的关系如下表所示：
XX1234
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米1\text{ 米}.
(1) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2) 从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.
=0pt =0pt

2013 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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09概率与统计★★★☆☆
已知事件“在矩形 ABCDABCD 的边 CDCD 上随机取一点 PP，使 △APB\triangle APB 的最大边是 ABAB”发生的概率为 12\frac{1}{2}，则 ADAB=\frac{AD}{AB} =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
14\frac{1}{4}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
74\frac{\sqrt{7}}{4}

2013 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
某人在如图所示的直角边长为 4 米4\text{ 米} 的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 YY（单位：kg\mathrm{kg}）与它的“相近”作物株数 XX 之间的关系如下表所示：
XX11223344
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米1\text{ 米}.
(1) 完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
YY5151484845454242
(2) 在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg48 \mathrm{~kg} 的概率.

2013 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100100 位顾客的相关数据，如下表所示.
已知这 100100 位顾客中一次购物量超过 88 件的顾客占 55%55\%.
(1) 确定 xx，yy 的值，并求顾客一次购物的结算时间 XX 的分布列与数学期望； (2) 若某顾客到达收银台时前面恰有 22 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 2.52.5 分钟的概率.（注：将频率视为概率）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由一次购物量超过 88 件的顾客占 55%55\%，得
25+y+10=100×55%=5525+y+10=100\times55\%=55
所以 y=20y=20. 再由顾客总数为 100100，得
x+30+25+20+10=100x+30+25+20+10=100
从而 x=15x=15.
结算时间 XX 的可能取值及其频率如下： \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline XX&11&1.51.5&22&2.52.5&33\ \hline PP&15100\frac{15}{100}&30100\frac{30}{100}&25100\frac{25}{100}&20100\frac{20}{100}&10100\frac{10}{100}\ \hline \end{tabular} \end{center} 即 P(X=1)=320P(X=1)=\frac3{20}，P(X=1.5)=310P(X=1.5)=\frac3{10}，P(X=2)=14P(X=2)=\frac14，P(X=2.5)=15P(X=2.5)=\frac15，P(X=3)=110P(X=3)=\frac1{10}. 因此
E(X)=1⋅320+1.5⋅310+2⋅14+2.5⋅15+3⋅110=1.9E(X)=1\cdot\frac3{20}+1.5\cdot\frac3{10}+2\cdot\frac14 +2.5\cdot\frac15+3\cdot\frac1{10}=1.9
\item 设前面的两位顾客结算时间分别为 X1X_1，X2X_2. 由独立性， 等候时间不超过 2.52.5 分钟的事件为 (X1,X2)=(1,1)(X_1,X_2)=(1,1)，(1,1.5)(1,1.5)，(1.5,1)(1.5,1). 所以所求概率为
P(X1+X2⩽2.5)=(320)2+2⋅320⋅310=9400+18200=980P(X_1+X_2\leqslant2.5)=\left(\frac3{20}\right)^2 +2\cdot\frac3{20}\cdot\frac3{10} =\frac9{400}+\frac{18}{200} =\frac9{80}
\end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某商店试销某种商品 20 天20\text{ 天}，获得如下数据：
日销售量（件）0123
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品 3 件3\text{ 件}，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件2\text{ 件}，则当天进货补充至 3 件3\text{ 件}，否则不进货，将频率视为概率.
(1) 求当天商品不进货的概率； (2) 记 XX 为第二天开始营业时该商品的件数，求 XX 的分布列和数学期望.

2011 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
如图，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.
(1) 求直方图中 xx 的值； (2) 若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 33 位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在 33 至 4 吨4\text{ 吨} 的居民数 XX 的分布列和数学期望.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由频率分布直方图中各组组距均为 11，各组频率之和为 11，得
x+0.37+0.39+0.10+0.02=1x+0.37+0.39+0.10+0.02=1
所以 x=0.12x=0.12. \item 居民月均用水量在 33 至 4 吨4\text{ 吨} 的概率为 0.100.10. 由于是有放回抽样，33 位居民是否属于该类相互独立，所以 X∼B(3,0.10)X\sim B(3,0.10). 对 k=0k=0，11，22，33，有
P(X=k)=C3k(0.10)k(0.90)3−kP(X=k)=\mathrm C_{3}^{k}(0.10)^k(0.90)^{3-k}
因此 XX 的分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} XX & 00 & 11 & 22 & 33 \ \hline PP & 0.7290.729 & 0.2430.243 & 0.0270.027 & 0.0010.001 \end{tabular} \end{center} 数学期望为 E(X)=3×0.10=0.3E(X)=3\times0.10=0.3. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 AA，BB，CC 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：
高校相关人数抽取人数
BB363622
CC5454yy
(1) 求 xx，yy. (2) 若从高校 B，C 抽取的人中选 2 人作专题发言，求这二人都来自高校 C 的概率.

2010 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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13概率与统计★★★☆☆
一个总体分为 AA，BB 两层，其个体数之比为 4:14:1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 1010 的样本. 已知 BB 层中甲，乙都被抽到的概率为 128\frac{1}{28}，则总体中的个体数为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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