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1513分概率与统计★★★☆☆
从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：
(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记 p^\hat{p} 为 11 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365365 天的概率的估计值.
(i) 求 p^\hat{p}； (ii) 该厂向某用户销售 100100 件这种电子产品，记 XX 为这 100100 件电子产品中首次出现故障的时间小于 365365 天的件数，假设 X∼B(100,p^)X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)，求 E(X)E\left( X \right)，D(X)D\left( X \right).

2026 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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126分概率与统计★★★☆☆
在信道内传输 0,10,1 信号，信号的传输相互独立. 发送 00 时，收到 11 的概率为 α\alpha（0<α<10<\alpha<1），收到 00 的概率为 1−α1-\alpha；发送 11 时，收到 00 的概率为 β\beta（0<β<10<\beta<1），收到 11 的概率为 1−β1-\beta. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送 11 次，三次传输是指每个信号重复发送 33 次. 收到的信号需要译码：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码. 则（ ）
A.
采用单次传输方案，若依次发送 1,0,11,0,1，则依次收到 1,0,11,0,1 的概率为 (1−α)(1−β)2(1-\alpha)(1-\beta)^2
B.
采用三次传输方案，若发送 11，则依次收到 11，00，11 的概率为 β(1−β)2\beta(1-\beta)^2
C.
采用三次传输方案，若发送 11，则译码为 11 的概率为 β(1−β)2+(1−β)3\beta(1-\beta)^2+(1-\beta)^3
D.
当 0<α<0.50<\alpha<0.5 时，若发送 00，则采用三次传输方案译码为 00 的概率大于采用单次传输方案译码为 00 的概率

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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1917分概率与统计★★★☆☆
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 cc，将该指标大于 cc 的人判定为阳性，小于或等于 cc 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)q(c). 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 p(c)=0.5%p(c)=0.5\% 时，求临界值 cc 和误诊率 q(c)q(c)； (2) 设函数 f(c)=p(c)+q(c)f(c)=p(c)+q(c). 当 c∈[95,105]c\in[95,105] 时，求 f(c)f(c) 的解析式，并求 f(c)f(c) 在区间 [95,105][95,105] 的最小值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★☆☆
在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2) 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 [20,70)[20,70) 的概率； (3) 已知该地区这种疾病的患病率为 0.1%0.1\%，该地区年龄位于区间 [40,50)[40,50) 的人口占该地区总人口的 16%16\%. 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 [40,50)[40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到 0.00010.0001）.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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03概率与统计★★★☆☆
在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 12001200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压. 为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压 500500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 16001600 份的概率为 0.050.05. 志愿者每人每天能完成 5050 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.950.95，则至少需要志愿者（ ）
A.
1010 名
B.
1818 名
C.
2424 名
D.
3232 名

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 2020 个作为样区，调查得到样本数据 (xi,yi)(x_i,y_i)（i=1i=1，22，⋯\cdots，2020），其中 xix_i 和 yiy_i 分别表示第 ii 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 ∑i=120xi=60\sum_{i=1}^{20}x_i=60，∑i=120yi=1200\sum_{i=1}^{20}y_i=1200，∑i=120(xi−xˉ)2=80\sum_{i=1}^{20}\left( x_i-\bar{x} \right)^2=80，∑i=120(yi−yˉ)2=9000\sum_{i=1}^{20}\left( y_i-\bar{y} \right)^2=9000，∑i=120(xi−xˉ)(yi−yˉ)=800\sum_{i=1}^{20}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)=800.
(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2) 求样本 (xi,yi)(x_i,y_i)（i=1i=1，22，⋯\cdots，2020）的相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2\sum_{i=1}^{n}\left( y_i-\bar{y} \right)^2}}，2≈1.414\sqrt2\approx 1.414.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 2020 个作为样区，调查得到样本数据 (xi,yi)(x_i,y_i)（i=1i=1，22，⋯\cdots，2020），其中 xix_i 和 yiy_i 分别表示第 ii 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 ∑i=120xi=60\sum_{i=1}^{20}x_i=60，∑i=120yi=1200\sum_{i=1}^{20}y_i=1200，∑i=120(xi−xˉ)2=80\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar x)^2=80，∑i=120(yi−yˉ)2=9000\sum_{i=1}^{20}(y_i-\bar y)^2=9000，∑i=120(xi−xˉ)(yi−yˉ)=800\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=800.
(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2) 求样本 (xi,yi)(x_i,y_i)（i=1i=1，22，⋯\cdots，2020）的相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}}， 2≈1.414\sqrt2\approx 1.414.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 11 分，当某局打成 10:1010:10 平后，每球交换发球权，先多得 22 分的一方获胜，该局比赛结束. 甲，乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.50.5，乙发球时甲得分的概率为 0.40.4，各球的结果相互独立. 在某局双方 10:1010:10 平后，甲先发球，两人又打了 XX 个球该局比赛结束.
(1) 求 P(X=2)P(X=2)； (2) 求事件“X=4X=4 且甲获胜”的概率.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
如图是某地区 20002000 年至 20162016 年环境基础设施投资额 yy（单位：亿元）的折线图.
为了预测该地区 20182018 年的环境基础设施投资额，建立了 yy 与时间变量 tt 的两个线性回归模型. 根据 20002000 年至 20162016 年的数据（时间变量 tt 的值依次为 11，22，⋯\cdots，1717）建立模型（1）：y^=−30.4+13.5t\hat y=-30.4+13.5t；根据 20102010 年至 20162016 年的数据（时间变量 tt 的值依次为 11，22，⋯\cdots，77）建立模型（2）：y^=99+17.5t\hat y=99+17.5t.
(1) 分别利用这两个模型，求该地区 20182018 年的环境基础设施投资额的预测值； (2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.
{ =0pt
}

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 yy（单位：亿元）的折线图.
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 yy 与时间变量 tt 的两个线性回归模型.
① 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 tt 的值依次为 11，22，⋯\cdots，1717）建立模型：y^=−30.4+13.5t\hat y=-30.4+13.5t； ② 根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 tt 的值依次为 11，22，⋯\cdots，77）建立模型：y^=99+17.5t\hat y=99+17.5t.
(1) 分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； (2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
端午节吃粽子是我国的传统习俗. 设一盘中装有 1010 个粽子，其中豆沙粽 22 个，肉粽 33 个，白粽 55 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 33 个.
(1) 求三种粽子各取到 1 个的概率； (2) 设 XX 表示取到的豆沙粽个数，求 XX 的分布列与数学期望.

2015 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★☆☆
在区间 [0,5][0, 5] 上随机地选择一个数 pp，则方程 x2+2px+3p−2=0x^2 + 2px + 3p - 2 = 0 有两个负根的概率为______.

2015 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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18概率与统计★★★☆☆
一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
(1) 求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； (2) XX 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 XX 的分布列与数学期望. （注：若三个数 aa，bb，cc 满足 a⩽b⩽ca \leqslant b \leqslant c，则称 bb 为这三个数的中位数）

2014 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
某校早上 8:008{:}00 上课，假设该校学生小张与小王在早上 7:30–7:507{:}30\text{--}7{:}50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟5\text{ 分钟} 到校的概率为______. （用数字作答）

2014 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.
(1) 求频率分布直方图中 aa 的值； (2) 分别求出成绩落在 [50,60)[50,60) 与 [60,70)[60,70) 中的学生人数； (3) 从成绩在 [50,70)[50,70) 的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 [60,70)[60,70) 中的概率.

2014 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 33 个红球与 44 个白球的袋中任意摸出 33 个球，再从装有 11 个蓝球与 22 个白球的袋中任意摸出 11 个球，根据摸出 44 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1) 求一次摸球恰好摸到 11 个红球的概率； (2) 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 XX 的分布列与期望 E(X)E(X).
\begin{solution} 设第一次摸出的红球数为 RR，第二次摸出的蓝球数为 BB. 第一次从 77 个球中摸出 33 个球，因此 P(R=r)=C3rC43−rC73P(R=r)=\frac{\mathrm C_{3}^{r}\mathrm C_{4}^{3-r}}{\mathrm C_{7}^{3}}，r=0r=0，11，22，33. 其中 C73=35\mathrm C_{7}^{3}=35.
\begin{enumerate} \item 恰好摸到 11 个红球的概率为
P(R=1)=C31C42C73=3×635=1835P(R=1)=\frac{\mathrm C_{3}^{1}\mathrm C_{4}^{2}}{\mathrm C_{7}^{3}}=\frac{3\times6}{35}=\frac{18}{35}
\item 第二次摸到蓝球的概率为 13\frac{1}{3}，摸到白球的概率为 23\frac{2}{3}，且两次摸球相互独立. 由组合数计算， P(R=0)=435P(R=0)=\frac{4}{35}，P(R=1)=1835P(R=1)=\frac{18}{35}，P(R=2)=1235P(R=2)=\frac{12}{35}，P(R=3)=135P(R=3)=\frac{1}{35}. 三种获奖情形互不相交，所以
P(X=200)=135⋅13=1105P(X=200)=\frac{1}{35}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{105}
P(X=50)=135⋅23=2105P(X=50)=\frac{1}{35}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{105}，P(X=10)=1235⋅13=435P(X=10)=\frac{12}{35}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{35}. 其余情况均无奖，故
P(X=0)=1−1+2+12105=67P(X=0)=1-\frac{1+2+12}{105}=\frac{6}{7}
因此获奖金额 XX 的分布列为
\begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} XX & 00 & 1010 & 5050 & 200200 \ \hline PP & 67\dfrac{6}{7} & 435\dfrac{4}{35} & 2105\dfrac{2}{105} & 1105\dfrac{1}{105} \end{tabular} \end{center}
于是
E(X)=0⋅67+10⋅435+50⋅2105+200⋅1105=4E(X)=0\cdot\frac{6}{7}+10\cdot\frac{4}{35}+50\cdot\frac{2}{105}+200\cdot\frac{1}{105}=4
\end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人轮流投篮. 每人每次投一球. 约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为 13\frac{1}{3}，乙每次投篮投中的概率为 12\frac{1}{2}，且各次投篮互不影响.
(1) 求甲获胜的概率； (2) 求投篮结束时的甲投篮次数 ξ\xi 的分布列与期望.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 记甲、乙在第 kk 次投篮投中的事件分别为 AkA_{k}，BkB_{k}. 甲在第 kk 次投中而获胜，要求前 k−1k-1 轮双方都未投中，然后甲第 kk 次投中. 因此 P(Ak使甲获胜)=(23⋅12)k−1⋅13=(13)k−113P(A_{k}\text{使甲获胜}) =\left(\frac23\cdot\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac13 =\left(\frac13\right)^{k-1}\frac13，k=1k=1，22，33. 这些事件互斥，故甲获胜的概率为
P(甲获胜)=13+19+127=1327P(\text{甲获胜})=\frac13+\frac19+\frac1{27}=\frac{13}{27}
\item ξ\xi 的可能取值为 11，22，33. 当第一轮结束时投篮结束的概率为
P(ξ=1)=P(A1)+P(A1‾B1)=13+23⋅12=23P(\xi=1)=P(A_{1})+P(\overline{A_{1}}B_{1}) =\frac13+\frac23\cdot\frac12=\frac23
第一轮双方均未投中后，第二轮结束的概率为
P(ξ=2)=P(A1‾ B1‾)[P(A2)+P(A2‾B2)]=23⋅12⋅(13+23⋅12)=29P(\xi=2)=P(\overline{A_{1}}\,\overline{B_{1}}) \left[P(A_{2})+P(\overline{A_{2}}B_{2})\right] =\frac23\cdot\frac12\cdot\left(\frac13+\frac23\cdot\frac12\right) =\frac29
若前两轮双方均未投中，则无论第三轮是否有人投中，投篮都在第三轮结束，所以
P(ξ=3)=P(A1‾ B1‾ A2‾ B2‾)=(23⋅12)2=19P(\xi=3)=P(\overline{A_{1}}\,\overline{B_{1}}\,\overline{A_{2}}\,\overline{B_{2}}) =\left(\frac23\cdot\frac12\right)^{2}=\frac19
因此分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc} ξ\xi & 11 & 22 & 33 \ \hline PP & 23\frac23 & 29\frac29 & 19\frac19 \end{tabular} \end{center} 且
E(ξ)=1⋅23+2⋅29+3⋅19=139E(\xi)=1\cdot\frac23+2\cdot\frac29+3\cdot\frac19=\frac{13}{9}
\end{enumerate} \end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
某艺校在一天的 66 节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其他三门艺术课各 11 节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 11 节艺术课的概率为______. （用数字作答）
\begin{answer} 15\frac{1}{5} \end{answer}
\begin{solution} 把语文、数学、外语和三门艺术课视为六门彼此不同的课，课表的总排法数为 6!6!. 先排三门艺术课，有 3!3! 种排法；三门艺术课排好后形成左端、两课之间和右端共 44 个空隙. 为了使相邻两节文化课之间至少间隔一节艺术课，三门文化课必须分别放入其中三个不同空隙，有 C43\mathrm C_4^3 种选法，再排列三门文化课，有 3!3! 种排法. 因此有利排法数为 3!C433!3!\mathrm C_4^3 3!，所求概率为 3!C433!6!=15\frac{3!\mathrm C_4^3 3!}{6!}=\frac15. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人轮流投篮，每人每次投一球. 约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 33 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为 13\frac{1}{3}，乙每次投篮投中的概率为 12\frac{1}{2}，且各次投篮互不影响.
(1) 求乙获胜的概率； (2) 求投篮结束时乙只投了 22 个球的概率.

2012 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某市公租房的房源位于 AA，BB，CC 三个片区. 设每位申请人只申请其中一个片区的房源. 且申请其中任一个片区的房源是等可能的. 求该市的任 44 位申请人中：
(1) 恰有 2 人申请 AA 片区的房源的概率； (2) 申请的房源所在片区的个数 ξ\xi 的分布列与期望.

2011 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某市公租房的房源位于 AA，BB，CC 三个片区. 设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任 44 位申请人中：
(1) 没有人申请 AA 片区房源的概率； (2) 每个片区的房源都有人申请的概率.

2011 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 11，22，⋯\cdots，66），求：
(1) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2) 甲、乙两单位之间的演出单位个数 ξ\xi 的分布列与期望.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 甲、乙两单位的演出序号是从 11，22，…\ldots，66 中随机取出的两个不同序号. 两序号都为偶数的概率为 C32C62=15\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_6^2}=\frac{1}{5}，所以至少有一个为奇数的概率为 1−15=451-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}. \item 两单位的演出序号之差为 dd 时，满足条件的无序位置对有 6−d6-d 个，全部无序位置对有 C62=15\mathrm C_6^2=15 个. 由于 ξ=d−1\xi=d-1，所以 ξ\xi 的分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} ξ\xi & 00 & 11 & 22 & 33 & 44 \ \hline PP & 515\frac{5}{15} & 415\frac{4}{15} & 315\frac{3}{15} & 215\frac{2}{15} & 115\frac{1}{15} \end{tabular} \end{center} 从而 E(ξ)=0⋅515+1⋅415+2⋅315+3⋅215+4⋅115=43E(\xi)=0\cdot\frac{5}{15}+1\cdot\frac{4}{15}+2\cdot\frac{3}{15}+3\cdot\frac{2}{15}+4\cdot\frac{1}{15}=\frac{4}{3}. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 11，22，…\ldots，66），求：
(1) 甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； (2) 甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

2010 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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06概率与统计★★★☆☆
锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同. 从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 4 个汤圆从 15 个中任取，样本数为 C154\mathrm C_{15}^{4}. 每种馅至少取到 1 个时，取法只能是数量分配 (2,1,1)(2,1,1). 因而有利取法数为
C62C51C41+C61C52C41+C61C51C42=300+240+180=720\mathrm C_{6}^{2}\mathrm C_{5}^{1}\mathrm C_{4}^{1} +\mathrm C_{6}^{1}\mathrm C_{5}^{2}\mathrm C_{4}^{1} +\mathrm C_{6}^{1}\mathrm C_{5}^{1}\mathrm C_{4}^{2} =300+240+180=720
所求概率为
720C154=7201365=4891\frac{720}{\mathrm C_{15}^{4}}=\frac{720}{1365}=\frac{48}{91}
故选 C. \end{solution}
A.
891\frac{8}{91}
B.
2591\frac{25}{91}
C.
4891\frac{48}{91}
D.
6091\frac{60}{91}

2009 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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17概率与统计★★★☆☆
某单位为绿化环境，移栽了甲，乙两种大树各 2 株. 设甲，乙两种大树移栽的成活率分别为 23\frac{2}{3} 和 12\frac{1}{2}，且各株大树是否成活互不影响. 求移栽的 4 株大树中：
(1) 两种大树各成活 1 株的概率； (2) 成活的株数 ξ\xi 的分布列与期望.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设甲树成活数为 XX，乙树成活数为 YY. 则 P(X=0)=19P(X=0)=\frac19，P(X=1)=49P(X=1)=\frac49，P(X=2)=49P(X=2)=\frac49 P(Y=0)=14P(Y=0)=\frac14，P(Y=1)=12P(Y=1)=\frac12，P(Y=2)=14P(Y=2)=\frac14. 两类树的成活相互独立，因此
P(X=1,Y=1)=49×12=29P(X=1,Y=1)=\frac49\times\frac12=\frac29
\item ξ=X+Y\xi=X+Y. 由 XX 与 YY 相互独立，逐项计算得
P(ξ=0)=P(X=0)P(Y=0)=19×14=136P(\xi=0)=P(X=0)P(Y=0)=\frac19\times\frac14=\frac1{36}
再有
P(ξ=1)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)=19×12+49×14=16P(\xi=1)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0) =\frac19\times\frac12+\frac49\times\frac14=\frac16
以及
P(ξ=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=19×14+49×12+49×14=1336.\begin{aligned} P(\xi=2)&=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)\\ &=\frac19\times\frac14+\frac49\times\frac12+\frac49\times\frac14=\frac{13}{36}. \end{aligned}
对 ξ=3\xi=3，44 分别有
P(ξ=3)=P(X=1)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=1)=49×14+49×12=13P(\xi=3)=P(X=1)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=1) =\frac49\times\frac14+\frac49\times\frac12=\frac13
P(ξ=4)=P(X=2)P(Y=2)=49×14=19P(\xi=4)=P(X=2)P(Y=2)=\frac49\times\frac14=\frac19
所以分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} ξ\xi&00&11&22&33&44\ \hline PP&136\frac1{36}&16\frac16&1336\frac{13}{36}&13\frac13&19\frac19 \end{tabular} \end{center} 于是
E(ξ)=0⋅136+1⋅16+2⋅1336+3⋅13+4⋅19=73E(\xi)=0\cdot\frac1{36}+1\cdot\frac16+2\cdot\frac{13}{36} +3\cdot\frac13+4\cdot\frac19=\frac73
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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