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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
小桐一周跑 22 次，一次 55 圈或 66 圈. 第一次跑 55 圈或 66 圈概率各为 0.50.5；若第一次跑 55 圈，则第二次分别跑 55 圈，66 圈的概率为 0.40.4，0.60.6；若第一次跑 66 圈，则第二次分别跑 55 圈，66 圈的概率为 0.60.6，0.40.4. 则一周跑 1111 圈的概率为 ‾\underline{\hspace{2em}}；若一周至少跑 1111 圈为达标，则连续跑 44 周，记合格周数为 XX，则 E(X)=‾E(X)=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 13 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
从正方体的 88 个顶点中任选 44 个，则这 44 个点在同一个平面的概率为______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
为了检测学生的身体素质指标，需从游泳类 11 项，球类 33 项，田径类 44 项，共 88 项项目中随机抽取 44 项进行测试，每一类都被抽到的概率为______（结果用最简分数表示）.

2022 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
现有 7 张卡片，分别写上数字 11，22，22，33，44，55，66. 从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ξ\xi，则 P(ξ=2)=P(\xi=2)=______，E(ξ)=E(\xi)=______.

2022 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
袋中有 44 个红球，mm 个黄球，nn 个绿球，现从中任取两球，记取出的红球数为 ξ\xi. 若取出的两个球都是红球概率为 16\frac{1}{6}， 一红一黄概率为 13\frac{1}{3}，则 m−n=‾m-n=\underline{\hspace{2em}}，E(ξ)=‾E(\xi)=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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07概率与统计★★★☆☆
已知有四个数 11，22，aa，bb，这四个数的中位数是 33，平均数是 44，则 ab=ab=______.

2020 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
已知四个函数：
① y=−xy=-x； ② y=−1xy=-\dfrac1x； ③ y=x3y=x^3； ④ y=x12y=x^{\frac12}.
从中任选 22 个，则事件“所选 22 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为______.

2017 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，OO 为正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的中心，A1(1,0)A_1(1,0)，任取不同的两点 AiA_i，AjA_j，点 PP 满足 OP→+OAi→+OAj→=\bs0\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}=\bs0，则点 PP 落在第一象限的概率是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
在 [−1,1][-1,1] 上随机地取一个数 kk，则事件“直线 y=kxy=kx 与圆 (x−5)2+y2=9(x-5)^2+y^2=9 相交”发生的概率为______.

2016 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
高三年级267 位267\text{ 位}学生参加期末考试，某班37 位37\text{ 位}学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲，乙，丙为该班三位学生.
从这次考试成绩看，
① 在甲，乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是______； ② 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是______.

2015 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12概率与统计★★★☆☆
赌博有陷阱. 某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 11，22，33，44，55 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.41.4 倍作为其奖金（单位：元）. 若随机变量 ξ1\xi_{1} 和 ξ2\xi_{2} 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E(ξ1)−E(ξ2)=E(\xi_{1}) - E(\xi_{2}) =______（元）.

2015 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12概率与统计★★★☆☆
在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示.
130\quad 0\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 6\quad 8\quad 8\quad 8\quad 9
141\quad 1\quad 1\quad 2\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 4\quad 4\quad 5\quad 5\quad 5\quad 6\quad 6\quad 7\quad 8
150\quad 1\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 3
若将运动员按成绩由好到差编为 1∼351 \sim 35 号，再用系统抽样的方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 [139,151][139,151] 上的运动员人数是______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
在区间 [0,5][0, 5] 上随机地选择一个数 pp，则方程 x2+2px+3p−2=0x^2 + 2px + 3p - 2 = 0 有两个负根的概率为______.

2015 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
正方形的四个顶点 A(−1,−1)A(-1, -1)，B(1,−1)B(1, -1)，C(1,1)C(1, 1)，D(−1,1)D(-1, 1) 分别在抛物线 y=−x2y = -x^2 和 y=x2y = x^2 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCDABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是______.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
某游戏的得分为 11，22，33，44，55，随机变量 ξ\xi 表示小白玩该游戏的得分. 若 E(ξ)=4.2E(\xi) = 4.2，则小白得 5 分5\text{ 分} 的概率至少为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在边长为 e\mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.

2014 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
某校早上 8:008{:}00 上课，假设该校学生小张与小王在早上 7:30–7:507{:}30\text{--}7{:}50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟5\text{ 分钟} 到校的概率为______. （用数字作答）

2014 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
设非零常数 dd 是等差数列 x1x_1，x2x_2，x3x_3，⋯\cdots，x19x_{19} 的公差，随机变量 ξ\xi 等可能地取值 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x19x_{19}，则方差 D(ξ)=D(\xi)=______. \begin{answer} 30d230d^2 \end{answer}
\begin{solution} 等差数列可写为 xi=x1+(i−1)dx_i=x_1+(i-1)d. 由于 ξ\xi 等可能取这 1919 个值，其平均数为
E(ξ)=x1+x192=x1+9dE(\xi)=\frac{x_1+x_{19}}{2}=x_1+9d
因此
D(ξ)=119∑i=119(xi−x1−9d)2=d219∑i=119(i−10)2D(\xi)=\frac{1}{19}\sum_{i=1}^{19}(x_i-x_1-9d)^2 =\frac{d^2}{19}\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2
令 r=i−10r=i-10，则
∑i=119(i−10)2=2∑r=19r2=2⋅9⋅10⋅196=570\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2=2\sum_{r=1}^{9}r^2 =2\cdot\frac{9\cdot10\cdot19}{6}=570
所以 D(ξ)=57019d2=30d2D(\xi)=\frac{570}{19}d^2=30d^2. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 11 或元件 22 正常工作，且元件 33 正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N(1000,502)N(1000, 50^{2})，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 10001000 小时的概率为______.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11概率与统计★★★☆☆
三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛. 若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______. （结果用最简分数表示）

2012 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
由正整数组成的一组数据 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，x4x_{4}，其平均数和中位数都是 22，且标准差等于 11，则这组数据为______. （从小到大排列）

2012 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
某艺校在一天的 66 节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其他三门艺术课各 11 节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 11 节艺术课的概率为______. （用数字作答）
\begin{answer} 15\frac{1}{5} \end{answer}
\begin{solution} 把语文、数学、外语和三门艺术课视为六门彼此不同的课，课表的总排法数为 6!6!. 先排三门艺术课，有 3!3! 种排法；三门艺术课排好后形成左端、两课之间和右端共 44 个空隙. 为了使相邻两节文化课之间至少间隔一节艺术课，三门文化课必须分别放入其中三个不同空隙，有 C43\mathrm C_4^3 种选法，再排列三门文化课，有 3!3! 种排法. 因此有利排法数为 3!C433!3!\mathrm C_4^3 3!，所求概率为 3!C433!6!=15\frac{3!\mathrm C_4^3 3!}{6!}=\frac15. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ\xi 的概率分布列如下表：
请小牛同学计算 ξ\xi 的数学期望，尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同. 据此，小牛给出了正确答案 E(ξ)=E(\xi)=______.

2011 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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