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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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055分概率与统计★★★☆☆
从 22 至 88 的 77 个整数中随机取 22 个不同的数，则这 22 个数互质的概率为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
23\dfrac23

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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085分概率与统计★★★☆☆
有 66 个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中有放回地随机取两次，每次取 11 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 11”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 22”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 88”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 77”，则（ ）
A.
甲与丙相互独立
B.
甲与丁相互独立
C.
乙与丙相互独立
D.
丙与丁相互独立

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
将 44 个 11 和 22 个 00 随机排成一行，则 22 个 00 不相邻的概率为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
25\frac{2}{5}
C.
23\frac{2}{3}
D.
45\frac{4}{5}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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03概率与统计★★★☆☆
在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 12001200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压. 为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压 500500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 16001600 份的概率为 0.050.05. 志愿者每人每天能完成 5050 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.950.95，则至少需要志愿者（ ）
A.
1010 名
B.
1818 名
C.
2424 名
D.
3232 名

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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07概率与统计★★★☆☆
设 0<a<10<a<1，则随机变量 XX 的分布列如图，则当 aa 在 (0,1)(0,1) 内增大时，D(X)D(X)（ ）
A.
增大
B.
减小
C.
先增大后减小
D.
先减小后增大

2019 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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08概率与统计★★★☆☆
某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 pp，各成员的支付方式相互独立. 设 XX 为该群体的 1010 位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4D(X)=2.4，P(X=4)<P(X=6)P(X=4)<P(X=6)，则 p=p=（ ）
A.
0.70.7
B.
0.60.6
C.
0.40.4
D.
0.30.3

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07概率与统计★★★☆☆
设 0<p<10<p<1，随机变量 ξ\xi 的分布列是
ξ\xi001122
则当 pp 在 (0,1)(0,1) 内增大时，D(ξ)D(\xi)（ ）
A.
减小
B.
增大
C.
先减小后增大
D.
先增大后减小

2018 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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07概率与统计★★★☆☆
甲，乙，丙，丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩. 老师说：你们四人中有 22 位优秀，22 位良好，我现在给甲看乙，丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩. 根据以上信息，则（ ）
A.
乙可以知道四人的成绩
B.
丁可以知道四人的成绩
C.
乙，丁可以知道对方的成绩
D.
乙，丁可以知道自己的成绩

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★★☆☆
在区间 [0,2][0,2] 上随机地取一个数 xx，则事件“−1⩽log⁡12(x+12)⩽1-1 \leqslant \log_{\frac{1}{2}}\left(x + \frac{1}{2}\right) \leqslant 1”发生的概率为（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
23\frac{2}{3}
C.
13\frac{1}{3}
D.
14\frac{1}{4}

2015 · 山东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04概率与统计★★★☆☆
设 X∼N(μ1,σ12)X\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)，Y∼N(μ2,σ22)Y\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A.
P(Y⩾μ2)⩾P(Y⩾μ1)P(Y\geqslant\mu_2)\geqslant P(Y\geqslant\mu_1)
B.
P(X⩽σ2)⩽P(X⩽σ1)P(X\leqslant\sigma_2)\leqslant P(X\leqslant\sigma_1)
C.
对任意正数 tt，P(X⩽t)⩾P(Y⩽t)P(X\leqslant t)\geqslant P(Y\leqslant t)
D.
对任意正数 tt，P(X⩾t)⩾P(Y⩾t)P(X\geqslant t)\geqslant P(Y\geqslant t)

2015 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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07概率与统计★★★☆☆
在区间 [0,1][0,1] 上随机取两个数 xx，yy，记 p1p_1 为事件“x+y⩾12x+y\geqslant\frac12”的概率，p2p_2 为事件“∣x−y∣⩽12|x-y|\leqslant\frac12”的概率，p3p_3 为事件“xy⩽12xy\leqslant\frac12”的概率，则（ ）
A.
p1<p2<p3p_1<p_2<p_3
B.
p2<p3<p1p_2<p_3<p_1
C.
p3<p1<p2p_3<p_1<p_2
D.
p3<p2<p1p_3<p_2<p_1

2015 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★★☆☆
在区间 [0,1][0,1] 上随机取两个数 xx，yy，记 p1p_1 为事件“x+y⩽12x+y\leqslant \frac{1}{2}”的概率，p2p_2 为事件“xy⩽12xy\leqslant \frac{1}{2}”的概率，则（ ）
A.
p1<p2<12p_1<p_2<\frac{1}{2}
B.
p2<12<p1p_2<\frac{1}{2}<p_1
C.
12<p2<p1\frac{1}{2}<p_2<p_1
D.
p1<12<p2p_1<\frac{1}{2}<p_2

2015 · 湖北 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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02概率与统计★★★☆☆
在一次马拉松比赛中，3535 名运动员的成绩（单位：分钟\text{分钟}）茎叶图如图所示.
131300，00，33，44，55，66，66，88，88，88，99
141411，11，11，22，22，22，33，33，44，44，55，55，55，66，66，77，88
151500，11，22，22，33，33，33
若将运动员按成绩由好到差编为 1∼351\sim 35 号，再用系统抽样的方法从中抽取 77 人，则其中成绩在区间[139,151][139, 151]上的运动员的人数是（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2015 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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11概率与统计★★★☆☆
设复数 z=(x−1)+yiz = (x - 1) + y\mathrm{i} （xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），若 ∣z∣⩽1|z| \leqslant 1，则 y⩾xy \geqslant x 的概率为（ ）
A.
34+12π\frac{3}{4} + \frac{1}{2\pi}
B.
12+1π\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}
C.
12−1π\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}
D.
14−12π\frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi}

2015 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12概率与统计★★★☆☆
设复数 z=(x−1)+yiz = (x - 1) + yi（xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），若 ∣z∣⩽1|z| \leqslant 1，则 y⩾xy \geqslant x 的概率为（ ）
A.
34+12π\frac{3}{4} + \frac{1}{2\pi}
B.
12+1π\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}
C.
14−12π\frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi}
D.
12−1π\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}

2015 · 陕西 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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09概率与统计★★★☆☆
已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 mm 个红球和 nn 个蓝球（m⩾3m \geqslant 3，n⩾3n \geqslant 3），从乙盒中随机抽取 ii（i=1i = 1，22）个球放入甲盒中. 放入 ii 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi\xi_i（i=1i = 1，22）；放入 ii 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pip_i（i=1i = 1，22）. 则（ ）
A.
p1>p2p_1 > p_2，E(ξ1)<E(ξ2)E(\xi_1) < E(\xi_2)
B.
p1<p2p_1 < p_2，E(ξ1)>E(ξ2)E(\xi_1) > E(\xi_2)
C.
p1>p2p_1 > p_2，E(ξ1)>E(ξ2)E(\xi_1) > E(\xi_2)
D.
p1<p2p_1 < p_2，E(ξ1)<E(ξ2)E(\xi_1) < E(\xi_2)

2014 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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06概率与统计★★★☆☆
某人研究中学生的性别与成绩，视力，智商，阅读量这 44 个变量之间的关系，随机抽查了 5252 名中学生，得到统计数据如表 11 至表 44，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
\begin{array}{c} \begin{minipage}[t]{0.46\linewidth} \centering \begin{tabular}{c|ccc} \multicolumn{1}{c|}{性别} & \multicolumn{3}{c}{成绩} \\ \hline & 不及格 & 及格 & 总计 \\ \hline 男 & 6 & 14 & 20 \\ 女 & 10 & 22 & 32 \\ 总计 & 16 & 36 & 52 \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.46\linewidth} \centering \begin{tabular}{c|ccc} \multicolumn{1}{c|}{性别} & \multicolumn{3}{c}{视力} \\ \hline & 好 & 差 & 总计 \\ \hline 男 & 4 & 16 & 20 \\ 女 & 12 & 20 & 32 \\ 总计 & 16 & 36 & 52 \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \\ \begin{minipage}[t]{0.46\linewidth} \centering \begin{tabular}{c|ccc} \multicolumn{1}{c|}{性别} & \multicolumn{3}{c}{智商} \\ \hline & 偏高 & 正常 & 总计 \\ \hline 男 & 8 & 12 & 20 \\ 女 & 8 & 24 & 32 \\ 总计 & 16 & 36 & 52 \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.46\linewidth} \centering \begin{tabular}{c|ccc} \multicolumn{1}{c|}{性别} & \multicolumn{3}{c}{阅读量} \\ \hline & 丰富 & 不丰富 & 总计 \\ \hline 男 & 14 & 6 & 20 \\ 女 & 2 & 30 & 32 \\ 总计 & 16 & 36 & 52 \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \end{array}
A.
成绩
B.
视力
C.
智商
D.
阅读量

2014 · 江西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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11概率与统计★★★☆☆
已知 xx 与 yy 之间的几组数据如下表：
xx112233445566
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y^=b^x+a^\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}，若某同学根据上表中的前两组数据 (1,0)(1, 0) 和 (2,2)(2, 2) 求得的直线方程为 y=b′x+a′y = b'x + a'，则以下结论正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由表中数据得 xˉ=1+2+3+4+5+66=72\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac72，yˉ=0+2+1+3+3+46=136\bar{y}=\frac{0+2+1+3+3+4}{6}=\frac{13}{6}. 于是
∑i=16(xi−xˉ)2=(−52)2+(−32)2+(−12)2+(12)2+(32)2+(52)2=352\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2 =\left(-\frac52\right)^2+\left(-\frac32\right)^2+\left(-\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac32\right)^2+\left(\frac52\right)^2=\frac{35}{2}
∑i=16(xi−xˉ)(yi−yˉ)=65+3+7+5+15+5512=252\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) =\frac{65+3+7+5+15+55}{12}=\frac{25}{2}
因此回归直线的斜率与截距分别为 b^=252352=57\hat b=\frac{\frac{25}{2}}{\frac{35}{2}}=\frac57，a^=yˉ−b^xˉ=136−57⋅72=−13\hat a=\bar y-\hat b\bar x=\frac{13}{6}-\frac57\cdot\frac72=-\frac13. 前两组数据确定的直线斜率、截距为 b′=2−02−1=2b'=\frac{2-0}{2-1}=2，a′=−2a'=-2. 于是 b^<b′\hat b<b'，a^>a′\hat a>a'，故选 C. \end{solution}
A.
b^>b′,a^>a′\hat{b} > b', \hat{a} > a'
B.
b^>b′\hat{b} > b'，a^<a′\hat{a} < a'
C.
b^<b′\hat{b} < b'，a^>a′\hat{a} > a'
D.
b^<b′\hat{b} < b'，a^<a′\hat{a} < a'

2013 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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09概率与统计★★★☆☆
已知事件“在矩形 ABCDABCD 的边 CDCD 上随机取一点 PP，使 △APB\triangle APB 的最大边是 ABAB”发生的概率为 12\frac{1}{2}，则 ADAB=\frac{AD}{AB} =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
14\frac{1}{4}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
74\frac{\sqrt{7}}{4}

2013 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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09概率与统计★★★☆☆
节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒4\text{ 秒} 内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒4\text{ 秒} 为间隔闪亮. 那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒2\text{ 秒} 的概率是（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
34\frac{3}{4}
D.
78\frac{7}{8}

2013 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09概率与统计★★★☆☆
样本 (x1,x2,⋯ ,xn)(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) 的平均数为 x‾\overline{x}，样本 (y1,y2,⋯ ,ym)(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}) 的平均数为 y‾\overline{y} （记 x‾≠y‾\overline{x} \neq \overline{y}）. 若样本 (x1,x2,⋯ ,xn,y1,y2,⋯ ,ym)(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}) 的平均数 z‾=αx‾+(1−α)y‾\overline{z} = \alpha \overline{x} + (1 - \alpha)\overline{y}，其中 0<α<120 < \alpha < \frac{1}{2}，则 nn，mm 的大小关系为（ ）
A.
n<mn < m
B.
n>mn > m
C.
n=mn = m
D.
不能确定

2012 · 江西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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08概率与统计★★★☆☆
如图，在圆心角为直角的扇形 OABOAB 中，分别以 OAOA，OBOB 为直径作两个半圆. 在扇形 OABOAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A.
1−2π1 - \frac{2}{\pi}
B.
12−1π\frac{1}{2} -\frac{1}{\pi}
C.
2π\frac{2}{\pi}
D.
1π\frac{1}{\pi}

2012 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
如图，在圆心角为直角的扇形 OABOAB 中，分别以 OAOA，OBOB 为直径作两个半圆. 在扇形 OABOAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A.
12−1π\frac{1}{2} -\frac{1}{\pi}
B.
1π\frac{1}{\pi}
C.
1−2π1 - \frac{2}{\pi}
D.
2π\frac{2}{\pi}

2012 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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