真题题库 | 数迹

1917分概率与统计★★★☆☆

100

天空气中的

\mathrm{PM}_{2.5}

和

\mathrm{SO}_2

浓度（单位：

\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3

），得下表：

$\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2$	$[0,50]$	$(50,150]$	$(150,475]$
$(35,75]$	6	8	12
$(75,115]$	3	7	10

(1) 估计事件“该市一天空气中

\mathrm{PM}_{2.5}

浓度不超过 75，且

\mathrm{SO}_2

浓度不超过 150”的概率； (2) 根据所给数据，完成下面的

2\times 2

列联表：

$\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2$	$[0,150]$	$(150,475]$
$(75,115]$

(3) 根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中

\mathrm{PM}_{2.5}

浓度与

\mathrm{SO}_2

浓度有关？

附：

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

.

$P(K^2\ge k)$	0.050	0.010	0.001

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1917分概率与统计★★★☆☆

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了

100

天空气中的

\mathrm{PM}_{2.5}

和

\mathrm{SO}_2

浓度（单位：

\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3

），得下表：

$\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2$	$[0,50]$	$(50,150]$	$(150,475]$
$(35,75]$	6	8	12
$(75,115]$	3	7	10

(1) 估计事件“该市一天空气中

\mathrm{PM}_{2.5}

浓度不超过

75

，且

\mathrm{SO}_2

浓度不超过

150

”的概率； (2) 根据所给数据，完成下面的

2\times2

列联表：

$\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2$	$[0,150]$	$(150,475]$
$(75,115]$

(3) 根据（2）中的列联表，判断是否有

99\%

的把握认为该市一天空气中

\mathrm{PM}_{2.5}

浓度与

\mathrm{SO}_2

浓度有关？

附：

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

.

$P(K^2\geqslant k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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03概率与统计★★★☆☆

在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成

1200

份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压. 为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压

500

份订单未配货，预计第二天的新订单超过

1600

份的概率为

0.05

. 志愿者每人每天能完成

50

份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于

0.95

，则至少需要志愿者（）

A.

10

名

B.

18

名

C.

24

名

D.

32

名

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的

200

个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取

20

个作为样区，调查得到样本数据

(x_i,y_i)

（

i=1

，

2

，

\cdots

，

20

），其中

x_i

和

y_i

分别表示第

i

个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得

\sum_{i=1}^{20}x_i=60

，

\sum_{i=1}^{20}y_i=1200

，

\sum_{i=1}^{20}\left( x_i-\bar{x} \right)^2=80

，

\sum_{i=1}^{20}\left( y_i-\bar{y} \right)^2=9000

，

\sum_{i=1}^{20}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)=800

.

(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2) 求样本

(x_i,y_i)

（

i=1

，

2

，

\cdots

，

20

）的相关系数（精确到

0.01

）； (3) 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数

r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2\sum_{i=1}^{n}\left( y_i-\bar{y} \right)^2}}

，

\sqrt2\approx 1.414

.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的

200

个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取

20

个作为样区，调查得到样本数据

(x_i,y_i)

（

i=1

，

2

，

\cdots

，

20

），其中

x_i

和

y_i

分别表示第

i

个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得

\sum_{i=1}^{20}x_i=60

，

\sum_{i=1}^{20}y_i=1200

，

\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar x)^2=80

，

\sum_{i=1}^{20}(y_i-\bar y)^2=9000

，

\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=800

.

(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； (2) 求样本

(x_i,y_i)

（

i=1

，

2

，

\cdots

，

20

）的相关系数（精确到

0.01

）； (3) 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数

r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}}

，

\sqrt2\approx 1.414

.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某学生兴趣小组随机调查了某市

100

天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次	$[0,200]$	$(200,400]$	$(400,600]$
空气质量等级 $2$ （良）	5	10	12
空气质量等级 $3$ （轻度污染）	6	7	8
空气质量等级 $4$ （中度污染）	7	2	0

(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为

1

，

2

，

3

，

4

的概率； (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3) 若某天的空气质量等级为

1

或

2

，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为

3

或

4

，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的

2\times2

列联表，并根据列联表，判断是否有

95\%

的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次 $\le400$	人次 $>400$
空气质量不好

附：

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

.

$P(K^2\ge k)$	0.050	0.010	0.001

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某学生兴趣小组随机调查了某市

100

天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

\airqualityheader	$[0,200]$	$(200,400]$	$(400,600]$
$2$ （良）	$5$	$10$	$12$
$3$ （轻度污染）	$6$	$7$	$8$
$4$ （中度污染）	$7$	$2$	$0$

(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为

1

，

2

，

3

，

4

的概率； (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3) 若某天的空气质量等级为

1

或

2

，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为

3

或

4

，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的

2\times 2

列联表，并根据列联表，判断是否有

95\%

的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次 $\le 400$	人次 $>400$
空气质量不好

附：

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

.

$P(K^2\ge k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆

某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二. 为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

\begin{array}{c} \hline & \multicolumn{2}{c|}{男生} & \multicolumn{2}{c}{女生} \\ \hline & 支持 & 不支持 & 支持 & 不支持 \\ \hline 方案一 & $200\text{ 人}$ & $400\text{ 人}$ & $300\text{ 人}$ & $100\text{ 人}$ \\ 方案二 & $350\text{ 人}$ & $250\text{ 人}$ & $150\text{ 人}$ & $250\text{ 人}$ \\ \hline \end{array}

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

(1) 分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率； (2) 从该校全体男生中随机抽取

2\text{ 人}

，全体女生中随机抽取

1\text{ 人}

，估计这

3\text{ 人}

中恰有

2\text{ 人}

支持方案一的概率； (3) 将该校学生支持方案的概率估计值记为

p_0

，假设该校年级有

500\text{ 名}

男生和

300\text{ 名}

女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为

p_1

，试比较

p_0

与

p_1

的大小. （结论不要求证明）

2020 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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07概率与统计★★★☆☆

已知有四个数

1

，

2

，

a

，

b

，这四个数的中位数是

3

，平均数是

4

，则

ab=

______.

2020 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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