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096分概率与统计★★★☆☆
有一组样本数据 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6，其中 x1x_1 是最小值，x6x_6 是最大值，则（ ）
A.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的平均数等于 x1,x2,…,x6x_1,x_2,\dots,x_6 的平均数
B.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的中位数等于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的中位数
C.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的标准差不小于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的标准差
D.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的极差不大于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的极差

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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126分概率与统计★★★☆☆
在信道内传输 0,10,1 信号，信号的传输相互独立. 发送 00 时，收到 11 的概率为 α\alpha（0<α<10<\alpha<1），收到 00 的概率为 1−α1-\alpha；发送 11 时，收到 00 的概率为 β\beta（0<β<10<\beta<1），收到 11 的概率为 1−β1-\beta. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送 11 次，三次传输是指每个信号重复发送 33 次. 收到的信号需要译码：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码. 则（ ）
A.
采用单次传输方案，若依次发送 1,0,11,0,1，则依次收到 1,0,11,0,1 的概率为 (1−α)(1−β)2(1-\alpha)(1-\beta)^2
B.
采用三次传输方案，若发送 11，则依次收到 11，00，11 的概率为 β(1−β)2\beta(1-\beta)^2
C.
采用三次传输方案，若发送 11，则译码为 11 的概率为 β(1−β)2+(1−β)3\beta(1-\beta)^2+(1-\beta)^3
D.
当 0<α<0.50<\alpha<0.5 时，若发送 00，则采用三次传输方案译码为 00 的概率大于采用单次传输方案译码为 00 的概率

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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1917分概率与统计★★★☆☆
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 cc，将该指标大于 cc 的人判定为阳性，小于或等于 cc 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)q(c). 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 p(c)=0.5%p(c)=0.5\% 时，求临界值 cc 和误诊率 q(c)q(c)； (2) 设函数 f(c)=p(c)+q(c)f(c)=p(c)+q(c). 当 c∈[95,105]c\in[95,105] 时，求 f(c)f(c) 的解析式，并求 f(c)f(c) 在区间 [95,105][95,105] 的最小值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
一项试验旨在研究臭氧效应. 试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：gg）.
(1) 设 XX 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 XX 的分布列和数学期望； (2) 试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2， 18.8， 20.2， 21.3， 22.5， 23.2， 25.8， 26.5， 27.5， 30.1，
32.6， 34.3， 34.8， 35.6， 35.6， 35.8， 36.2， 37.3， 40.5， 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8， 9.2， 11.4， 12.4， 13.2， 15.5， 16.5， 18.0， 18.8， 19.2，
19.8， 20.2， 21.6， 22.8， 23.6， 23.9， 25.1， 28.2， 32.3， 36.5
(i) 求 40 只小鼠体重的增加量的中位数 mm，再分别统计两样本中小于 mm 与不小于 mm 的数据的个数，完成如下列联表； (ii) 根据（1）中的列联表，能否有 95% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n\left( ad-bc \right)^2}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}，

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外 20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g\mathrm{g}）. 试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2，18.8，20.2，21.3，22.5，23.2，25.8，26.5，27.5，30.1，
32.6，34.3，34.8，35.6，35.6，35.8，36.2，37.3，40.5，43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8，9.2，11.4，12.4，13.2，15.5，16.5，18.0，18.8，19.2，
19.8，20.2，21.6，22.8，23.6，23.9，25.1，28.2，32.3，36.5
(1) 计算试验组的样本平均数； (2) (i) 求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 mm，再分别统计两样本中小于 mm 与不小于 mm 的数据的个数，完成如下列联表 (ii) 根据列联表，能否有 95%95\% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n\left(ad-bc\right)^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}，

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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05概率与统计★★★☆☆
设 OO 为平面坐标系原点，在区域 1≤x+y≤41\le x+y\le4 内随机取一点 A. 则直线 OAOA 的倾斜角不大于 π4\frac\pi4 的概率为（ ）
A.
12\frac12
B.
16\frac16
C.
14\frac14
D.
12\frac12

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 5 题 · 多选题

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18概率与统计★★★☆☆
为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示. 在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同. 用频率估计概率.
(1) 试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的. 在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”，1 天“下跌”，1 天“不变”的概率； (3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响. 判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大. （结论不要求证明）

2023 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
2023 年 6 月 7 日，21 世纪汽车博览会在上海举行. 已知某汽车模型公司共有 2525 个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
棕色内饰2233
(1) 小明从这些汽车模型中随机取出一个，记事件 A 为“小明取到红色外观的汽车模型”，事件 B 为“小明取到棕色内饰的汽车模型”，求 P(B)P(B) 和 P(B∣A)P(B\mid A)，并据此判断事件 A 和事件 B 是否独立； (2) 该公司举行抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些汽车模型中随机取出两个汽车模型，并给出以下假设：
(i) 取出的两个汽车模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰均不为同色，以及仅外观或仅内饰为同色； (ii) 按出现结果的可能性大小，概率越小奖项越高； (iii) 抽奖活动的奖金金额为：一等奖 600600 元，二等奖 300300 元，三等奖 150150 元.
请分析各奖项对应的结果，设 XX 为奖金额，写出 XX 的分布并求其数学期望.

2023 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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