小颖同学去某健康主题公园沿环形步道跑步锻炼, 每周两次, 每次跑五圈或六圈, 每周第一次跑五圈和六圈的概率都是 $0.5$。若第一次跑了五圈, 则第二次跑五圈和六圈的概率分别为 $0.4$ 和 $0.6$; 若第一次跑了六圈, 则第二次跑五圈和六圈的概率分别为 $0.6$ 和 $0.4$。小颖同学一周共跑十一圈的概率为______; 当小颖同学在一周内跑步不少于十一圈时, 则认为这一周运动量合格。假设各周之间跑步圈数互不影响, 在 $4$ 周的跑步锻炼中, 以 $X$ 表示小颖同学运动量合格的周数, 则 $X$ 的数学期望为______。

为研究某疾病与超声波检查结果的关系, 从做过超声波检查的人群中随机调查了 $1000$ 人, 得到如下列联表:

(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 $p$, 求 $p$ 的估计值;

(2) 根据小概率值 $\alpha = 0.001$ 的独立性检验, 分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。

为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 $1000$ 人，得到如下列联表：

（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 $p$，求 $p$ 的估计值；

（2）根据小概率值 $\alpha=0.001$ 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。

附：$\chi^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，

2024 年东京奥运会, 中国获得了男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力金牌, 以下是历届奥运会男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力项目冠军成绩(单位: 秒), 数据按照升序排列:

(1) 求这组数据的极差与中位数;

(2) 从这 $10$ 个数据中任选 $3$ 个, 求恰有 $2$ 个数据大于 $211$ 的概率;

(3) 若比赛成绩 $y$ 关于年份 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = -0.311x + \hat{b}$, 年份 $x$ 的平均数为 $2006$, 请预测 $2028$ 年男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力项目冠军队的成绩。(结果精确到 $0.01$ 秒)

某次考试中, 只有一道单项选择题考查了某个知识点, 甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。为了解学生对该知识点的掌握情况, 随机抽查了甲、乙两校高一年级各 $100$ 名学生该题的答题数据, 其中甲校学生选择正确的人数为 $80$, 乙校学生选择正确的人数为 $75$。假设学生之间答题相互独立。用频率估计概率。

(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 $p$;

(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取 $1$ 名。设 $X$ 为这 $2$ 名学生中该题选择正确的人数, 估计 $X = 1$ 的概率及 $X$ 的数学期望;

(3) 假设: 如果没有掌握该知识点, 学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案; 如果掌握该知识点, 甲校学生选择正确的概率为 $100\%$, 乙校学生选择正确的概率为 $85\%$。设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 $p_1, p_2$, 判断 $p_1$ 与 $p_2$ 的大小。(结论不要求证明)