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15高考真题13分概率与统计★★★☆☆
某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制成如下的频率分布直方图：
（1）求第一四分位数和中位数；
（2）设 p^\hat{p} 为首次故障时间小于 365 天的概率估计值。
（i）求 p^\hat{p}；
（ii）工厂向某用户销售 100 件电子元件，XX 为这 100 件产品首次出故障小于 365 天的件数，则 X∼B(100,p^)X \sim B(100, \hat{p})，求 E(X)E(X)，D(X)D(X)。

2026全国二卷 · 第 15 题 · 解答题

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17高考真题14分概率与统计★★★☆☆
2024 年东京奥运会, 中国获得了男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力金牌, 以下是历届奥运会男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力项目冠军成绩(单位: 秒), 数据按照升序排列:
206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93206.78 \quad 207.46 \quad 207.95 \quad 209.34 \quad 209.35 \quad 210.68 \quad 213.73 \quad 214.84 \quad 216.93 \quad 216.93
(1) 求这组数据的极差与中位数;
(2) 从这 1010 个数据中任选 33 个, 求恰有 22 个数据大于 211211 的概率;
(3) 若比赛成绩 yy 关于年份 xx 的回归方程为 y^=−0.311x+b^\hat{y} = -0.311x + \hat{b}, 年份 xx 的平均数为 20062006, 请预测 20282028 年男子 4×1004 \times 100 米混合泳接力项目冠军队的成绩。(结果精确到 0.010.01 秒)

2025上海卷 · 第 17 题 · 解答题

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09高考真题5分概率与统计★★★☆☆
国内生产总值 (GDP) 是衡量该地区经济状况的最佳指标.根据统计数据显示, 某市在 2020 年间经济高质量增长, GDP 稳定增长, 第一季度和第四季度的 GDP 分别为 232232 亿元和 241241 亿元, 且四个季度的 GDP 逐季度增长.若这四个季度的 GDP 的中位数与平均数相等, 则该市 2020 年的 GDP 为______亿元.

2023上海卷 · 第 9 题 · 填空题

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09高考真题6分概率与统计★★★☆☆
有一组样本数据 x1,⋯ ,x6x_1, \cdots, x_6, 其中 x1x_1 最小, x6x_6 最大, 则 （ ）
A.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的平均数等于 x1,⋯ ,x6x_1,\cdots,x_6 的平均数
B.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的中位数等于 x1,⋯ ,x6x_1,\cdots,x_6 的中位数
C.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的标准差不小于 x1,⋯ ,x6x_1,\cdots,x_6 的标准差
D.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的极差不大于 x1,⋯ ,x6x_1,\cdots,x_6 的极差

2023新高考I卷 · 第 9 题 · 多选题

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17高考真题12分概率与统计★★★☆☆
某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行 1010 次配对试验, 每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xi,yix_i, y_i (i=1,2,⋯ ,10i = 1, 2, \cdots, 10)。试验结果如下:
试验序号 ii12345678910
伸缩率 xix_i545533551522575544541568596548
伸缩率 yiy_i536527543530560533522550576536
记 zi=xi−yiz_i = x_i - y_i (i=1,2,⋯ ,10i = 1, 2, \cdots, 10), 记 z1,z2,⋯ ,z10z_1, z_2, \cdots, z_{10} 的样本平均数为 zˉ\bar{z}, 样本方差为 s2s^2。
(1) 求 zˉ\bar{z}, s2s^2;
(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 zˉ≥2s210\bar{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}, 则认为有显著提高, 否则不认为有显著提高）。

2023全国乙卷(理) · 第 17 题 · 解答题

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17高考真题12分概率与统计★★★☆☆
某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行 1010 次配对试验, 每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xi,yix_i, y_i (i=1,2,⋯ ,10i = 1, 2, \cdots, 10)。试验结果如下:
试验序号 ii12345678910
伸缩率 xix_i545533551522575544541568596548
伸缩率 yiy_i536527543530560533522550576536
记 zi=xi−yiz_i = x_i - y_i (i=1,2,⋯ ,10i = 1, 2, \cdots, 10), 记 z1,z2,⋯ ,z10z_1, z_2, \cdots, z_{10} 的样本平均数为 zˉ\bar{z}, 样本方差为 s2s^2。
(1) 求 zˉ\bar{z}, s2s^2;
(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 zˉ≥2s210\bar{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}, 则认为有显著提高, 否则不认为有显著提高）。

2023全国乙卷(文) · 第 17 题 · 解答题

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19高考真题12分概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理, 已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量, 随机选取了 1010 棵这种树木, 测量每棵树的根部横截面积 (单位: m2\text{m}^2) 和材积量 (单位: m3\text{m}^3), 得到如下数据:
样本号 ii12345678910总和
根部横截面积 xix_i0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6
材积量 yiy_i0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9
并计算得 ∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.038, ∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1.6158, ∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 0.2474。
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 (精确到 0.010.01);
(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积, 并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186 m2186\,\text{m}^2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。
附: 相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}, 1.896≈1.377\sqrt{1.896} \approx 1.377。

2022全国乙卷(理) · 第 19 题 · 解答题

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19高考真题12分概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1010 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2^2）和材积量（单位：m3^3），得到如下数据：
样本号 ii12345678910总和
根部横截面积 xix_i0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6
材积量 yiy_i0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9
并计算得 ∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 0.038，∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1.6158，∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 0.2474。
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.010.01）；
(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186186 m2^2。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。

2022全国乙卷(文) · 第 19 题 · 解答题

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