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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深邃的历史文化闻名遐迩. 该塔群共有 108108 座塔，依山势自上而下排成 1212 行，将第 ii 行中塔的座数记为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1212），其中 a1=1a_1=1，a2=a3=3a_2=a_3=3，a4=a5=5a_4=a_5=5，且 a6a_6，a7a_7，⋯\cdots，a12a_{12} 是一个首项为 77，公差为 22 的等差数列. 将 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12} 分为 66 组，每组 22 个数，使得每组的 22 个数之和可构成一个项数为 66 且公差为 dd（d>0d>0）的等差数列，则 d=d=（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2026 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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075分三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha 为第二象限角，3sin⁡2αcos⁡α=8sin⁡αcos⁡2α3\sin 2\alpha \cos \alpha=8\sin \alpha \cos 2\alpha，则 1+sin⁡α2−cos⁡α=\frac{1+\sin \alpha}{2-\cos \alpha}=（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
35\frac{3}{5}
C.
12\frac{1}{2}
D.
512\frac{5}{12}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f\left( x \right) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，f(x)+f(x−2)=0f\left( x \right)+f\left( x-2 \right)=0，且当 x∈[32,3]x\in \left[ \frac{3}{2},3 \right] 时，f(x)=x2+ax+bf\left( x \right)=x^2+ax+b，则
A.
a=−2a=-2，b=−3b=-3
B.
a=−2a=-2，b=3b=3
C.
a=−4a=-4，b=−3b=-3
D.
a=−4a=-4，b=3b=3

2026 · 全国 · 二卷 · 第 8 题 · 选择题

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096分解析几何★★★☆☆
已知 ⊙O:x2+y2=1\odot O:x^2+y^2=1，⊙A:x2+y2−6x−8y+k=0\odot A:x^2+y^2-6x-8y+k=0，则（ ）
A.
点 AA 的坐标为 (−3,−4)\left( -3,-4 \right)
B.
当 k=9k=9 时，⊙A\odot A 与 xx 轴相切
C.
当 k=−11k=-11 时，⊙O\odot O 与 ⊙A\odot A 相切
D.
当 ⊙O\odot O 与 ⊙A\odot A 相交时，两个交点所在直线的方程为 6x+8y−k−2=06x+8y-k-2=0

2026 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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106分数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q≠1q\ne 1，a1>0a_1>0，2a3=a1+a22a_3=a_1+a_2，记其前 nn 项和为 SnS_n，则（ ）
A.
q=−12q=-\frac{1}{2}
B.
Sn>2a13S_n>\frac{2a_1}{3}
C.
2Sn+2=Sn+1+Sn2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n
D.
∑k=1nSk>2na13\sum_{k=1}^{n} S_k>\frac{2na_1}{3}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：
(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记 p^\hat{p} 为 11 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365365 天的概率的估计值.
(i) 求 p^\hat{p}； (ii) 该厂向某用户销售 100100 件这种电子产品，记 XX 为这 100100 件电子产品中首次出现故障的时间小于 365365 天的件数，假设 X∼B(100,p^)X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)，求 E(X)E\left( X \right)，D(X)D\left( X \right).

2026 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
{an}\left\{ a_n \right\}，{bn}\left\{ b_n \right\} 是无穷数列，则“存在常数 MM，使 an≤M≤bna_n\le M\le b_n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots）”是“an≤bna_n\le b_n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots）”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2026 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
f(x)=sin⁡(x+φ)f(x)=\sin\left( x+\varphi \right)（0<φ<2π0<\varphi<2\pi），将 f(x)f(x) 向 xx 轴正方向平移 3φ3\varphi 个单位，得到的函数图像与 f(x)f(x) 图像关于 xx 轴对称，则 φ\varphi 的取值个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2026 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
学校组织高一，高二学生参观甲，乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往. 已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ）
A.
去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数
B.
去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数
C.
去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数
D.
去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数

2026 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★★☆☆
摇杆机械装置，如图，AA，BB 为定点，CC，DD 是动点，AD=1AD=1，CD=3CD=3，BC=52BC=\frac{5}{2}，AB=4AB=4，则 cos⁡∠ABC\cos \angle ABC 的取值范围（ ）
A.
[516,7380]\left[ \frac{5}{16},\frac{73}{80} \right]
B.
[−516,7380]\left[ -\frac{5}{16},\frac{73}{80} \right]
C.
[516,1]\left[ \frac{5}{16},1 \right]
D.
[516,7380)\left[ \frac{5}{16},\frac{73}{80} \right)

2026 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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12数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 的前 nn 项和为 SnS_n，且 S6=6a6+30S_6=6a_6+30，则公差 d=‾d=\underline{\hspace{2em}}，若 Sn≤S5S_n\le S_5 恒成立，则符合条件的 a1a_1 的一个取值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 A−BCDA-BCD，AD=AB=AC=22AD=AB=AC=2\sqrt{2}，BD=BC=2BD=BC=2，DC=23DC=2\sqrt{3}，则它的底面 BCDBCD 的面积为 ‾\underline{\hspace{2em}}，体积为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxcos⁡φ+2cos⁡ωxsin⁡φf(x)=2\sin \omega x\cos \varphi+2\cos \omega x\sin \varphi，ω>0\omega>0，∣φ∣<π2\left| \varphi \right|<\frac{\pi}{2}，f(x)f(x) 最小正周期为 π\pi，且 f(0)>0f(0)>0，f(π4)=1f\left( \frac{\pi}{4} \right)=1.
(1) 求 ω\omega，φ\varphi 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调递减区间.

2026 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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05立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，错误的是（ ）
A.
AC//A1C1AC//A_1C_1
B.
CC1⊥面ABCCC_1\perp \text{面} ABC
C.
ACD1//面A1C1BACD_1//\text{面} A_1C_1B
D.
ADD1⊥面ACD1ADD_1\perp \text{面} ACD_1

2026 · 天津 · 第 5 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
已知 S2n−Sn=nS_{2n}-S_n=n，a3=6a_3=6，则 a7+a8=a_7+a_8=（ ）
A.
6868
B.
5656
C.
−3-3
D.
−4-4

2026 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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16三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=sin⁡(2x+π6)f(x)=\sin \left( 2x+\frac{\pi}{6} \right).
(1) 求最小正周期； (2) 若 x∈[−π6,π12]x\in \left[ -\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{12} \right]，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值； (3) 若 α∈(0,π2)\alpha\in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)，sin⁡α=33\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}，求 f(α)f(\alpha).

2026 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=3AA_1=3，AD=4AD=4，A1E=3ED1A_1E=3ED_1，2C1F=FC2C_1F=FC.
(1) 求证：BD⊥面CEFBD\perp \text{面} CEF； (2) 求面 AEFAEF 与面 CEFCEF 的夹角的余弦值； (3) 求三棱锥 A−CEFA-CEF 的体积.

2026 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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09数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 中，a1=0a_1=0，dd 为公差，SnS_n 为前 nn 项和. 至少有两项 SnS_n 介于 (0,1)\left( 0,1 \right)，则 dd 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 是两两不平行的向量，且 a+3b∥b+c\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，2a+kc∥b+c2\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{c}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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