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09数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 中，a1=0a_1=0，dd 为公差，SnS_n 为前 nn 项和. 至少有两项 SnS_n 介于 (0,1)\left( 0,1 \right)，则 dd 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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18指数函数与对数函数★★★☆☆
若 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x（a>0a>0，a≠1a\ne 1）.
(1) y=f(x)y=f(x) 过 (4,2)(4,2)，求 f(2x−2)<f(x)f(2x-2)<f(x) 的解集； (2) 存在 xx 使得 f(x+1)f(x+1)，f(ax)f(ax)，f(x+2)f(x+2) 成等差数列，求 aa 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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10数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差不为零，SnS_n 为其前 nn 项和. 若 S5=0S_5=0，则 S1S_1，S2S_2，…\ldots，S100S_{100} 这 100100 个数中所有不同数值的个数为______.

2022 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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19数列★★★☆☆
已知一企业今年第一季度的营业额为 1.11.1 亿元，往后每个季度增加 0.050.05 亿元，第一季度的利润为 0.160.16 亿元，往后每一季度比前一季度增长 4%4\%.
(1) 求今年起的前 2020 个季度的总营业额； (2) 请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 18%18\%？

2021 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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08数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和为 SnS_n，且满足 Sn+an=2S_n+a_n=2，则 S5=S_5=______.

2019 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的通项公式为 an=qn−1a_n=q^{n-1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），前 nn 项和为 SnS_n. 若 lim⁡n→∞Snan+1=12\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{a_{n+1}}=\frac12，则 q=q=______.

2018 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为实常数，数列 {xn}\{x_n\} 的通项 xn=an2+bn+cx_n=an^2+bn+c，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则“存在 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*，使得 x100+kx_{100+k}，x200+kx_{200+k}，x300+kx_{300+k} 成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A.
a≥0a\ge0
B.
b≤0b\le0
C.
c=0c=0
D.
a−2b+c=0a-2b+c=0

2017 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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19数列★★★☆☆
根据预测，某地第 nn（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 ana_n 和 bnb_n（单位：辆），其中
an={5n4+15,1≤n≤3,−10n+470,n≥4,bn=n+5a_n=\begin{cases} 5n^4+15,&1\le n\le 3,\\ -10n+470,&n\ge4, \end{cases}\quad b_n=n+5
，第 nn 个月底的共享单车的保有量是前 nn 个月的累计投放量与累计损失量的差.
(1) 求该地区第 44 个月底的共享单车的保有量； (2) 已知该地共享单车停放点第 nn 个月底的单车容纳量 Sn=−4(n−46)2+8800S_n=-4(n-46)^2+8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

2017 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
已知无穷等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_n，且 lim⁡n→∞Sn=S\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S，下列条件中，使得 2Sn<S2S_n<S（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）恒成立的是（ ）
A.
a1>0, 0.6<q<0.7a_1>0,\ 0.6<q<0.7
B.
a1<0a_1<0， −0.7<q<−0.6\ -0.7<q<-0.6
C.
a1>0a_1>0， 0.7<q<0.8\ 0.7<q<0.8
D.
a1<0a_1<0， −0.8<q<−0.7\ -0.8<q<-0.7

2016 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
记方程①： x2+a1x+1=0x^{2} + a_{1}x + 1 = 0，方程②： x2+a2x+2=0x^{2} + a_{2}x + 2 = 0，方程③： x2+a3x+4=0x^{2} + a_{3}x + 4 = 0，其中 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 是正实数. 当 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A.
方程①有实根，且②有实根
B.
方程①有实根，且②无实根
C.
方程①无实根，且②有实根
D.
方程①无实根，且②无实根

2015 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
设无穷等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，若 a1=lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)a_{1} = \displaystyle\lim_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})，则 q=q =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
设无穷等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，若 a1=lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)a_{1} = \lim\limits_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})，则 q=‾q =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 按非零首项的无穷等比数列定义，尾项和存在必须有 ∣q∣<1|q|<1. 由等比数列求和公式， lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)=a1q21−q\lim\limits_{n\to\infty}(a_3+a_4+\cdots+a_n)=\dfrac{a_1q^2}{1-q}. 与题设相等并约去非零的 a1a_1，得 1=q21−q1=\dfrac{q^2}{1-q}，即 q2+q−1=0q^2+q-1=0. 解得 q=−1±52q=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}，其中只有 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2} 满足 ∣q∣<1|q|<1，故所求为 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
设非零常数 dd 是等差数列 x1x_1，x2x_2，x3x_3，⋯\cdots，x19x_{19} 的公差，随机变量 ξ\xi 等可能地取值 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x19x_{19}，则方差 D(ξ)=D(\xi)=______. \begin{answer} 30d230d^2 \end{answer}
\begin{solution} 等差数列可写为 xi=x1+(i−1)dx_i=x_1+(i-1)d. 由于 ξ\xi 等可能取这 1919 个值，其平均数为
E(ξ)=x1+x192=x1+9dE(\xi)=\frac{x_1+x_{19}}{2}=x_1+9d
因此
D(ξ)=119∑i=119(xi−x1−9d)2=d219∑i=119(i−10)2D(\xi)=\frac{1}{19}\sum_{i=1}^{19}(x_i-x_1-9d)^2 =\frac{d^2}{19}\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2
令 r=i−10r=i-10，则
∑i=119(i−10)2=2∑r=19r2=2⋅9⋅10⋅196=570\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2=2\sum_{r=1}^{9}r^2 =2\cdot\frac{9\cdot10\cdot19}{6}=570
所以 D(ξ)=57019d2=30d2D(\xi)=\frac{570}{19}d^2=30d^2. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_n\} 中，an=2n−1a_n=2^n-1，若一个 77 行 1212 列的矩阵的第 ii 行第 jj 列的元素 aij=ai⋅aj+ai+aja_{ij}=a_i\cdot a_j+a_i+a_j （i=1i=1，22，⋯\cdots，7; j=17;\ j=1，22，⋯\cdots，1212），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 an=2n−1a_n=2^n-1，有
aij=aiaj+ai+aj=(ai+1)(aj+1)−1=2i+j−1a_{ij}=a_i a_j+a_i+a_j=(a_i+1)(a_j+1)-1=2^{i+j}-1
其中 i=1i=1，…\ldots，77，j=1j=1，…\ldots，1212，所以 i+ji+j 可以取从 22 到 1919 的每一个整数，共有 19−2+1=1819-2+1=18 个不同值. 故选 A. \end{solution}
A.
18
B.
28
C.
48
D.
63

2013 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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14数列★★★☆☆
已知 f(x)=11+xf(x) = \frac{1}{1 + x}，各项均为正数的数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_{1} = 1，an+2=f(an)a_{n + 2} = f(a_n). 若 a2010=a2012a_{2010} = a_{2012}，则 a20+a11a_{20} + a_{11} 的值是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12数列★★★☆☆
在 nn 行 nn 列矩阵
(123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋮⋱⋮⋱⋮⋯⋮n12⋯n−3n−2n−1)\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n - 2 & n - 1 & n\\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n - 1 & n & 1\\ 3 & 4 & 5 & \cdots & n & 1 & 2\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots\\ n & 1 & 2 & \cdots & n - 3 & n - 2 & n - 1 \end{pmatrix}
中，记位于第 ii 行第 jj 列的数为 aija_{ij}，ii，j=1j = 1，22，⋯\cdots，nn. 当 n=9n = 9 时， a11+a22+a33+⋯+a99=a_{11} + a_{22} + a_{33} + \cdots + a_{99} =______.

2010 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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20数列★★★☆☆
如果有穷数列 a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，ama_m（mm 为正整数）满足条件 a1=ama_1 = a_m，a2=am−1a_2 = a_{m-1}，⋯\cdots，am=a1a_m = a_1，即 ai=am−i+1a_i = a_{m-i+1}（i=1i = 1，22，⋯\cdots，mm），我们称其为“对称数列”. 例如，数列 11，22，55，22，11 与数列 88，44，22，22，44，88 都是“对称数列”.
(1) 设 {bn}\{b_n\} 是项数为 77 的“对称数列”，其中 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4b_4 是等差数列，且 b1=2b_1 = 2，b4=11b_4 = 11. 依次写出 {bn}\{b_n\} 的每一项； (2) 设 {cn}\{c_n\} 是 4949 项的“对称数列”，其中 c25c_{25}，c26c_{26}，⋯\cdots，c49c_{49} 是首项为 11，公比为 22 的等比数列，求 {cn}\{c_n\} 各项的和 SS； (3) 设 {dn}\{d_n\} 是 100100 项的“对称数列”，其中 d51d_{51}，d52d_{52}，⋯\cdots，d100d_{100} 是首项为 22，公差为 33 的等差数列. 求 {dn}\{d_n\} 前 nn 项的和 SnS_n（n=1n = 1，22，⋯\cdots，100100）.

2007 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，且对任意正整数 nn，an+Sn=4096a_n + S_n = 4096.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {log⁡2an}\{\log_2 a_n\} 的前 nn 项和为 TnT_n，对数列 {Tn}\{T_n\}，从第几项起 Tn<−509T_n < -509？

2006 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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04数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_{n}\}（n∈Nn \in \mathbf{N}）的公比 q=−12q = -\frac{1}{2}，且 lim⁡n→∞(a1+a3+a5+⋯+a2n−1)=83\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty} (a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdots + a_{2n-1}) = \frac{8}{3}，则 a1=‾a_{1} =\underline{\hspace{2em}}.

2004 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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12数列★★★☆☆
若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”. 设 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的无穷等比数列，下列 {an}\{a_n\} 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第______组.（写出所有符合要求的组号）
① S1S_{1} 与 S2S_{2}； ② a2a_{2} 与 S3S_{3}； ③ a1a_{1} 与 ana_{n}； ④ qq 与 ana_{n}.
其中 nn 为大于 11 的整数，SnS_{n} 为 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和.

2004 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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