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106分数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q≠1q\ne 1，a1>0a_1>0，2a3=a1+a22a_3=a_1+a_2，记其前 nn 项和为 SnS_n，则（ ）
A.
q=−12q=-\frac{1}{2}
B.
Sn>2a13S_n>\frac{2a_1}{3}
C.
2Sn+2=Sn+1+Sn2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n
D.
∑k=1nSk>2na13\sum_{k=1}^{n} S_k>\frac{2na_1}{3}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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096分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，qq 为 {an}\{a_n\} 的公比，q>0q>0. 若 S3=7S_3=7，a3=1a_3=1，则（ ）
A.
q=12q=\frac12
B.
a5=19a_5=\frac19
C.
S5=8S_5=8
D.
an+Sn=8a_n+S_n=8

2025 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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12解析几何★★★☆☆
已知 bb 是 aa，cc 的等差中项，直线 ax+by+c=0ax+by+c=0 与圆 x2+y2+4y−1=0x^2+y^2+4y-1=0 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣\left| AB \right| 的最小值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
252\sqrt{5}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 4Sn=3an+44S_n=3a_n+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n=\left( -1 \right)^{n-1}na_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 2Sn=3an+1−32S_n=3a_{n+1}-3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a2=1a_2=1，2Sn=nan2S_n=na_n.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {an+12n}\left\{ \frac{a_{n+1}}{2^n} \right\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 2Snn+n=2an+1\frac{2S_n}{n}+n=2a_n+1.
(1) 证明：{an}\{a_n\} 是等差数列； (2) 若 a4a_4，a7a_7，a9a_9 成等比数列，求 SnS_n 的最小值.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 2Snn+n=2an+1\dfrac{2S_n}{n}+n=2a_n+1.
(1) 证明：{an}\{a_n\} 是等差数列； (2) 若 a4a_4，a7a_7，a9a_9 成等比数列，求 SnS_n 的最小值.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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07数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_n，设甲：q>0q>0，乙：{Sn}\{S_n\} 是递增数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，从下面三个条件中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① 数列 {an}\{a_n\} 是等差数列； ② 数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是等差数列； ③ a2=3a1a_2=3a_1.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 an>0a_n>0，a2=3a1a_2=3a_1，且数列 {Sn}\{\sqrt{S_n}\} 是等差数列，证明：{an}\{a_n\} 是等差数列.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1=3，an+1=3an−4na_{n+1}=3a_n-4n.
(1) 计算 a2a_2，a3a_3，猜想 {an}\{a_n\} 的通项公式并加以证明； (2) 求数列 {2nan}\{2^na_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+a2=4a_1+a_2=4，a3−a1=8a_3-a_1=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 为数列 {log⁡3an}\{\log_3 a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sm+Sm+1=Sm+3S_m+S_{m+1}=S_{m+3}，求 mm.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的首项为 11，SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，Sn+1=qSn+1S_{n+1}=qS_n+1，其中 q>0q>0，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.
(1) 若 a2a_2，a3a_3，a2+a3a_2+a_3 成等差数列，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设双曲线 x2−y2an2=1x^2-\dfrac{y^2}{a_n^2}=1 的离心率为 ene_n，且 e2=2e_2=2，求 e12+e22+⋯+en2e_1^2+e_2^2+\cdots+e_n^2.

2016 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\}（n=1n = 1，22，33，…\dots） 的前 nn 项和 SnS_{n} 满足 Sn=2an−a1S_{n} = 2a_{n} - a_{1}，且 a1a_1，a2+1a_2 + 1，a3a_3 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 记数列 {1an}\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}，求使得 ∣Tn−1∣<11000\left|T_{n} - 1\right| < \frac{1}{1000} 成立的 nn 的最小值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 n⩾2n\geqslant2 时，由 Sn−Sn−1=anS_n-S_{n-1}=a_n 得
(2an−a1)−(2an−1−a1)=an(2a_n-a_1)-(2a_{n-1}-a_1)=a_n
所以 an=2an−1a_n=2a_{n-1}. 因而 an=2n−1a1a_n=2^{n-1}a_1. 又 a1a_1，a2+1a_2+1，a3a_3 成等差数列，所以 2(a2+1)=a1+a32(a_2+1)=a_1+a_3，2(2a1+1)=a1+4a12(2a_1+1)=a_1+4a_1 解得 a1=2a_1=2，从而 an=2na_n=2^n. \item
Tn=∑k=1n12k=1−12nT_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{2^k}=1-\frac1{2^n}
故 ∣Tn−1∣=2−n\lvert T_n-1\rvert=2^{-n}. 条件 2−n<110002^{-n}<\dfrac1{1000} 等价于 2n>10002^n>1000. 由于 29=512<1000<1024=2102^9=512<1000<1024=2^{10}，所以 nn 的最小值为 1010. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\}（n=1n = 1，22，33，⋯\cdots）的前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn=2an−a1S_n = 2a_n - a_1，且 a1a_1，a2+1a_2 + 1，a3a_3 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记数列 {1an}\left\{\frac{1}{a_n}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_n，求 TnT_n.

2015 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，点 (an,bn)(a_{n}, b_{n}) 在函数 f(x)=2xf(x) = 2^{x} 的图象上（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_{n}\} 为等比数列； (2) 若 a1=1a_{1} = 1，函数 f(x)f(x) 的图象在点 (a2,b2)(a_{2}, b_{2}) 处的切线在 xx 轴上的截距为 2−1ln⁡22 - \frac{1}{\ln 2}，求数列 {anbn2}\{a_{n} b_{n}^{2}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为点 (an,bn)(a_n,b_n) 在 y=2xy=2^x 的图象上，所以 bn=2anb_n=2^{a_n}. 又 an+1=an+da_{n+1}=a_n+d，故
bn+1bn=2an+d2an=2d\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{a_n+d}}{2^{a_n}}=2^d
这个比值与 nn 无关，所以 {bn}\{b_n\} 是以 2d2^d 为公比的等比数列. \item 函数 f(x)=2xf(x)=2^x 的导数为 f′(x)=2xln⁡2f'(x)=2^x\ln2. 在点 (a2,b2)(a_2,b_2) 处的切线方程为
y−b2=b2ln⁡2(x−a2)y-b_2=b_2\ln2\left(x-a_2\right)
令 y=0y=0，得该切线在 xx 轴上的截距为 a2−1ln⁡2a_2-\frac1{\ln2}. 由题设及 a1=1a_1=1，得 a2=2a_2=2，从而 d=1d=1，an=na_n=n，bn=2nb_n=2^n. 因此
Sn=∑k=1nakbk2=∑k=1nk4kS_n=\sum_{k=1}^n a_kb_k^2=\sum_{k=1}^n k4^k
设上式为 SnS_n，则 4Sn=∑k=2n+1(k−1)4k4S_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)4^k，相减得
3Sn=n4n+1−∑k=1n4k=n4n+1−4n+1−433S_n=n4^{n+1}-\sum_{k=1}^n4^k=n4^{n+1}-\frac{4^{n+1}-4}{3}
所以 Sn=(3n−1)4n+1+49S_n=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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08数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 的首项为 3，{bn}\{b_{n}\} 为等差数列且 bn=an+1−anb_{n}=a_{n+1}-a_{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}）. 若 b3=−2b_{3}=-2，b10=12b_{10}=12，则 a8=a_{8} =（ ）
A.
00
B.
33
C.
88
D.
1111

2011 · 四川 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知定义在 [0,+∞)[0, +\infty) 上的函数 f(x)f(x) 满足 f(x)=3f(x+2)f(x) = 3f(x + 2)，当 x∈[0,2)x \in [0, 2) 时，f(x)=−x2+2xf(x) = -x^{2} + 2x. 设 f(x)f(x) 在 [2n−2,2n)[2n - 2, 2n) 上的最大值为 ana_{n} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），且{an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，则 lim⁡n→∞Sn=\lim\limits_{n\to\infty} S_{n} =（ ）
A.
33
B.
52\frac{5}{2}
C.
22
D.
32\frac{3}{2}

2011 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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20数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的前3项和为6，前8项和为−4-4.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=(4−an)qn−1b_{n} = (4 - a_{n})q^{n - 1} （q≠0q \neq 0，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2010 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和记为 SnS_{n}，a1=1a_{1} = 1，an+1=2Sn+1a_{n+1} = 2S_{n} + 1（n⩾1n \geqslant 1）.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 等差数列 {bn}\{b_{n}\} 的各项为正，其前 nn 项和 TnT_{n}，且 T3=15T_{3}=15，又 a1+b1a_{1}+b_{1}，a2+b2a_{2}+b_{2}，a3+b3a_{3}+b_{3} 成等比数列，求 TnT_{n}.

2006 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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