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共找到 22 题
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组题
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08数列★★★☆☆
已知 S2n−Sn=nS_{2n}-S_n=n，a3=6a_3=6，则 a7+a8=a_7+a_8=（ ）
A.
6868
B.
5656
C.
−3-3
D.
−4-4

2026 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 Sn=−n2+8nS_n=-n^2+8n，则数列 {∣an∣}\{|a_n|\} 的前 12 项和为（ ）
A.
112
B.
48
C.
80
D.
64

2025 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等比数列，SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，an+1=2Sn+2a_{n+1}=2S_n+2，则 a4=a_4=（ ）
A.
3
B.
18
C.
54
D.
152

2023 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列，公比大于 00. 已知 a1=b1=3a_1=b_1=3，b2=a3b_2=a_3，b3=4a2+3b_3=4a_2+3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {cn}\{c_n\} 满足：当 nn 为奇数时，cn=1c_n=1；当 nn 为偶数时，cn=bn2c_n=b_{\frac{n}{2}}. 求 a1c1+a2c2+⋯+a2nc2na_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2019 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，其前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）；{bn}\{b_n\} 是等比数列，公比大于 00，其前 nn 项和为 TnT_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.已知 b1=1b_1=1，b3=b2+2b_3=b_2+2，b4=a3+a5b_4=a_3+a_5，b5=a4+2a6b_5=a_4+2a_6.
(1) 求 SnS_n 和 TnT_n； (2) 若 Sn+(T1+T2+⋯+Tn)=an+4bnS_n+(T_1+T_2+\cdots+T_n)=a_n+4b_n，求正整数 nn 的值.

2018 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是首项为 22 的等比数列，且公比大于 00，b2+b3=12b_2+b_3=12，b3=a4−2a1b_3=a_4-2a_1，S11=11b4S_{11}=11b_4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {a2nb2n−1}\{a_{2n}b_{2n-1}\} 的前 nn 项和（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2017 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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05集合与逻辑基础★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为正数的等比数列，公比为 qq，则“q<0q<0”是“对任意的正整数 nn，a2n−1+a2n<0a_{2n-1}+a_{2n}<0”的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等比数列，前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*），且 1a1−1a2=2a3\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_2}=\dfrac{2}{a_3}，S6=63S_6=63.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若对任意的 n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，bnb_n 是 log⁡2an\log_2 a_n 和 log⁡2an+1\log_2 a_{n+1} 的等差中项，求数列 {(−1)nbn2}\{(-1)^n b_n^2\} 的前 2n2n 项和.

2016 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+2=qana_{n + 2} = qa_{n}（qq 为实数，且 q≠1q \neq 1），n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，且 a2+a3a_{2} + a_{3}，a3+a4a_{3} + a_{4}，a4+a5a_{4} + a_{5} 成等差数列.
(1) 求 qq 的值和 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2a2na2n−1b_{n}=\frac{\log_{2}a_{2n}}{a_{2n-1}}，n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和.

2015 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是各项均为正数的等比数列，{bn}\{b_{n}\} 是等差数列，且 a1=b1=1a_{1} = b_{1} = 1，b2+b3=2a3b_{2} + b_{3} = 2a_{3}，a5−3b2=7a_{5} - 3b_{2} = 7.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 设 cn=anbnc_{n} = a_{n}b_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，求数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 nn 项和.

2015 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知首项为 32\frac{3}{2} 的等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），且 −2S2-2S_{2}，S3S_{3}，4S44S_{4} 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明 Sn+1Sn⩽136S_{n} + \frac{1}{S_{n}} \leqslant \frac{13}{6} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.

2013 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，其前 nn 项和为 SnS_{n}，{bn}\{b_{n}\} 是等比数列，且 a1=b1=2a_{1} = b_{1} = 2，a4+b4=27a_{4} + b_{4} = 27，S4−b4=10S_{4} - b_{4} = 10.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 记 Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbnT_{n} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \dots + a_{n}b_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，证明： Tn−8=an−1bn+1T_{n} - 8 = a_{n-1}b_{n+1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，n>2n > 2）.

2012 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是首项为 1 的等比数列，SnS_{n} 是 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，且 9S3=S69S_{3} = S_{6}，则数列 {1an}\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\} 的前 5 项和为（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 设等比数列的公比为 qq. 因为首项为 11，所以 S3=1+q+q2S_3=1+q+q^2，S6=S3(1+q3)S_6=S_3(1+q^3). 又 S3=1+q+q2=(q+12)2+34>0S_3=1+q+q^2=\left(q+\frac12\right)^2+\frac34>0. 由 9S3=S69S_3=S_6，得 1+q3=91+q^3=9，即 q=2q=2. 因此
∑n=151an=1+12+14+18+116=3116\sum_{n=1}^{5}\frac1{a_n} =1+\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16} =\frac{31}{16}
因此选 C. \end{solution}
A.
158\frac{15}{8} 或 5
B.
3116\frac{31}{16} 或 5
C.
3116\frac{31}{16}
D.
158\frac{15}{8}

2010 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
设 a>0a > 0，b>0b > 0. 若 3\sqrt{3} 是 3a3^{a} 与 3b3^{b} 的等比中项，则 1a+1b\frac{1}{a} + \frac{1}{b} 的最小值为（ ）
A.
88
B.
44
C.
11
D.
14\frac{1}{4}

2009 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 dd 不为 0，a1=9da_{1} = 9d. 若 aka_{k} 是 a1a_{1} 与 a2ka_{2k} 的等比中项，则 k=k =（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2007 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 dd 不为 00，a1=9da_{1} = 9d. 若 aka_{k} 是 a1a_{1} 与 a2ka_{2k} 的等比中项，则 k=k =（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2007 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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20数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=2a_{1} = 2，an+1=4an−3n+1a_{n + 1} = 4a_{n} - 3n + 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明数列 {an−n}\{a_{n}-n\} 是等比数列. (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_n. (3) 证明不等式 Sn+1⩽4SnS_{n+1} \leqslant 4S_n 对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^* 皆成立.

2007 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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07数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 都是公差为 11 的等差数列，其首项分别为 a1a_{1}，b1b_{1}，且 a1+b1=5a_{1}+b_{1}=5，a1a_{1}，b1∈N∗b_{1}\in\mathbf{N}^{*}. 设 Cn=abnC_{n}=a_{b_{n}}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}），则数列 {Cn}\{C_{n}\} 的前 1010 项和等于（ ）
A.
5555
B.
7070
C.
8585
D.
100100

2006 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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16平面向量★★★☆☆
设函数 f(x)=1x+1f(x)=\frac{1}{x+1}，点 A0A_{0} 表示坐标原点，点 An(n,f(n))A_{n}(n,f(n))（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）. 若向量 an=A0A1→+A1A2→+⋯+An−1An→\boldsymbol{a}_{n}=\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}，θn\theta_{n} 是 an\boldsymbol{a}_{n} 与 i\boldsymbol{i} 的夹角（其中 i=(1,0)\boldsymbol{i}=(1,0)），设 Sn=tan⁡θ1+tan⁡θ2+⋯+tan⁡θnS_{n}=\tan\theta_{1}+\tan\theta_{2}+\cdots+\tan\theta_{n}，则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}=______.

2006 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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13数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，且 an+2−an=1+(−1)na_{n+2}-a_n=1+(-1)^n（n∈N∗n\in\mathbb N^*）. 则 S100=S_{100}=______.

2005 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，且 an+2−an=1+(−1)na_{n+2} - a_{n} = 1 + (-1)^{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 则 S10=S_{10} =______.

2005 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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19数列★★★☆☆
若公比为 cc 的等比数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=1a_1 = 1 且满足 an=an−1+an−22a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n - 2}}{2}（n=3n = 3，44，…\dots）.
(1) 求 cc 的值； (2) 求数列 {nan}\{na_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2005 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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