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075分数列★★★☆☆
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深邃的历史文化闻名遐迩. 该塔群共有 108108 座塔，依山势自上而下排成 1212 行，将第 ii 行中塔的座数记为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1212），其中 a1=1a_1=1，a2=a3=3a_2=a_3=3，a4=a5=5a_4=a_5=5，且 a6a_6，a7a_7，⋯\cdots，a12a_{12} 是一个首项为 77，公差为 22 的等差数列. 将 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12} 分为 66 组，每组 22 个数，使得每组的 22 个数之和可构成一个项数为 66 且公差为 dd（d>0d>0）的等差数列，则 d=d=（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2026 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 S4=−5S_4=-5，S6=21S2S_6=21S_2，则 S8=S_8=（ ）
A.
120
B.
85
C.
−85-85
D.
−120-120

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比不为 11 的等比数列，a1a_1 为 a2a_2，a3a_3 的等差中项.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的公比； (2) 若 a1=1a_1=1，求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是递增的等比数列，a1+a4=9a_{1} + a_{4} = 9，a2a3=8a_{2}a_{3} = 8，则数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和等于______.
\begin{solution} 设首项为 a1a_1，公比为 qq. 由 a2a3=a12q3=8>0a_2a_3=a_1^2q^3=8>0 知 q>0q>0. 再由 a1(1+q3)=9a_1(1+q^3)=9 知 a1>0a_1>0，数列递增从而 q>1q>1.
令 r=q3r=q^3，则 a12r=8a_1^2r=8，a1(1+r)=9a_1(1+r)=9. 消去 a1a_1 得 81r(1+r)2=8\frac{81r}{(1+r)^2}=8，8r2−65r+8=08r^2-65r+8=0， 所以 r=8r=8 或 r=18r=\frac18. 因为 r=q3>1r=q^3>1，故 r=8r=8，从而 q=2q=2，再由 a1(1+8)=9a_1(1+8)=9 得 a1=1a_1=1.
因此前 nn 项和为
Sn=a1(qn−1)q−1=2n−1S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=2^n-1
\end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是递增的等比数列，且 a1+a4=9a_{1} + a_{4} = 9，a2a3=8a_{2}a_{3} = 8.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，bn=an+1SnSn+1b_{n} = \frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2015 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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12数列★★★☆☆
如图，在等腰直角三角形 ABCABC 中，斜边 BC=22BC = 2\sqrt{2}，过点 AA 作 BCBC 的垂线，垂足为 A1A_1；过点 A1A_1 作 ACAC 的垂线，垂足为 A2A_2；过点 A2A_2 作 A1CA_1C 的垂线，垂足为 A3A_3；⋯\cdots，依此类推，设 BA=a1BA = a_1，AA1=a2AA_1 = a_2，A1A2=a3A_1A_2 = a_3，⋯\cdots，A5A6=a7A_5A_6 = a_7，则 a7=a_7 =______.
\begin{answer} 14\frac{1}{4} \end{answer}

2014 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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18数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_1 = 1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)na_{n+1} = (n + 1)a_n + n(n + 1)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明：数列 {ann}\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\} 是等差数列； (2) 设 bn=3n⋅anb_n = 3^n \cdot \sqrt{a_n}，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2014 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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14数列★★★☆☆
如图，互不相同的点 A1A_{1}，A2A_{2}，⋯\cdots，AnA_{n}，⋯\cdots 和 B1B_{1}，B2B_{2}，⋯\cdots，BnB_{n}，⋯\cdots 分别在角 OO 的两条边上. 所有 AnBnA_{n}B_{n} 相互平行，且所有梯形 AnBnBn+1An+1A_{n}B_{n}B_{n+1}A_{n+1} 的面积均相等. 设 OAn=anOA_{n} = a_{n}. 若 a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，则数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式是______.

2013 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=2a_{1} = 2，a2+a4=8a_{2} + a_{4} = 8，且对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，函数 f(x)=(an−an+1+an+2)x+an+1cos⁡x−an+2sin⁡xf(x) = (a_{n} - a_{n+1} + a_{n+2})x + a_{n+1}\cos x - a_{n+2}\sin x 满足 f′ ⁣(π2)=0f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若 bn=2(an+12an)b_{n} = 2\left(a_{n} + \frac{1}{2a_{n}}\right)，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2013 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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14三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的一个内角为 120∘120^{\circ}，并且三边长构成公差为 44 的等差数列，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2011 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是任意等比数列，它的前 nn 项和，前 2n2n 项和与前 3n3n 项和分别为 XX，YY，ZZ，则下列等式中恒成立的是（ ）
A.
X+Z=2YX + Z = 2Y
B.
Y(Y−X)=Z(Z−X)Y(Y - X) = Z(Z - X)
C.
Y2=XZY^{2} = XZ
D.
Y(Y−X)=X(Z−X)Y(Y - X) = X(Z - X)

2010 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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05数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，a1+a3+a5=105a_1 + a_3 + a_5 = 105，a2+a4+a6=99a_2 + a_4 + a_6 = 99. 以 SnS_n 表示 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，则使得 SnS_n 达到最大值的 nn 是（ ）
A.
2121
B.
2020
C.
1919
D.
1818

2009 · 安徽 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 Sn=2n2+2nS_{n} = 2n^{2} + 2n，数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 Tn=2−bnT_{n} = 2 - b_{n}.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 设 cn=an2⋅bnc_{n} = a_{n}^{2} \cdot b_{n}，证明：当且仅当 n⩾3n \geqslant 3 时，cn+1<cnc_{n+1} < c_{n}.

2009 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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14数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，an=4n−52a_{n} = 4n - \frac{5}{2}，a1+a2+⋯+an=an2+bna_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = an^{2} + bn，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，其中 aa，bb 为常数，则 lim⁡n→∞an−bnan+bn\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n} - b^{n}}{a^{n} + b^{n}} 的值是______.

2008 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
如图，抛物线 y=−x2+1y = -x^{2} + 1 与 xx 轴的正半轴交于点 AA，将线段 OAOA 的 nn 等分点从左至右依次记为 P1P_{1}，P2P_{2}，⋯\cdots，Pn−1P_{n-1}，过这些分点分别作 xx 轴的垂线，与抛物线 CC 的交点依次为 Q1Q_{1}，Q2Q_{2}，⋯\cdots，Qn−1Q_{n-1}，从而得到 n−1n - 1 个直角三角形 △Q1OP1\triangle Q_{1}OP_{1}，△Q2P1P2\triangle Q_{2}P_{1}P_{2}，⋯\cdots，△Qn−1Pn−2Pn−1\triangle Q_{n-1}P_{n-2}P_{n-1}. 当 n→∞n \to \infty 时，这些三角形的面积之和的极限为______.

2007 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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21数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1} = 1，前 nn 项和 SnS_{n} 满足条件 S2nSn=4n+2n+1\frac{S_{2n}}{S_{n}} = \frac{4n + 2}{n + 1}，n=1n = 1，22，⋯\cdots.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (2) 记 bn=anp2nb_n = a_n p^{2n}（p>0p > 0），求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2006 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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