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075分数列★★★☆☆
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深邃的历史文化闻名遐迩. 该塔群共有 108108 座塔，依山势自上而下排成 1212 行，将第 ii 行中塔的座数记为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1212），其中 a1=1a_1=1，a2=a3=3a_2=a_3=3，a4=a5=5a_4=a_5=5，且 a6a_6，a7a_7，⋯\cdots，a12a_{12} 是一个首项为 77，公差为 22 的等差数列. 将 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12} 分为 66 组，每组 22 个数，使得每组的 22 个数之和可构成一个项数为 66 且公差为 dd（d>0d>0）的等差数列，则 d=d=（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2026 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 设甲：{an}\{a_n\} 为等差数列，乙：{Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比不为 11 的等比数列，a1a_1 为 a2a_2，a3a_3 的等差中项.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的公比； (2) 若 a1=1a_1=1，求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★★★☆☆
若等比数列 {an}\{a_{n}\} 的各项均为正数，且 a10a11+a9a12=2e5a_{10}a_{11} + a_{9}a_{12} = 2\mathrm{e}^{5}，则 ln⁡a1+ln⁡a2+⋯+ln⁡a20=‾\ln a_1 + \ln a_2 + \cdots + \ln a_{20} =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 和为 SnS_{n}，满足 Sn=2nan+1−3n2−4nS_{n} = 2na_{n+1} - 3n^{2} - 4n，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，且 S3=15S_{3} = 15.
(1) 求 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2014 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 数列 {Sn}\{S_{n}\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}. 满足 Tn=2Sn−n2T_{n} = 2S_{n} - n^{2}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 a1a_{1} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2012 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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04数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 为等比数列，SnS_{n} 是它的前 nn 项和；若 a2⋅a3=2a1a_{2} \cdot a_{3} = 2a_{1}，且 a4a_{4} 与 2a72a_{7} 的等差中项为 54\frac{5}{4}，则 S5=S_{5} =（ ）
A.
35
B.
33
C.
31
D.
29

2010 · 广东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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04数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 为等比数列，SnS_n 是它的前 nn 项和，若 a2⋅a3=2a1a_2 \cdot a_3 = 2a_1，且 a4a_4 与 2a72a_7 的等差中项为 54\frac{5}{4}，则 S5=S_5 =（ ）
A.
3535
B.
3333
C.
3131
D.
2929

2010 · 广东 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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04数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 满足 an>0a_n > 0，n=1n = 1，22，⋯\cdots，且 a5⋅a2n−5=22na_5 \cdot a_{2n-5} = 2^{2n}（n⩾3n \geqslant 3），则当 n⩾1n \geqslant 1 时，log⁡2a1+log⁡2a3+⋯+log⁡2a2n−1=\log_2 a_1 + \log_2 a_3 + \cdots + \log_2 a_{2n-1} =（ ）
A.
n(2n−1)n(2n - 1)
B.
(n+1)2(n + 1)^{2}
C.
n2n^{2}
D.
(n−1)2(n - 1)^{2}

2009 · 广东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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14数列★★★☆☆
在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆准“正三棱锥”形的展品，其中第11堆只有11层，就一个球；第22，33，44，⋯\cdots堆最底层（第11层）分别按图示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第nn堆第nn层就放一个乒乓球，以 f(n)f(n) 表示第 nn 堆的乒乓球总数，则 f(3)=‾f(3)=\underline{\hspace{2em}}；f(n)=‾f(n)=\underline{\hspace{2em}}. （答案用 nn 表示）

2006 · 广东 · 第 14 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
已知数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 x2=x12x_{2} = \frac{x_{1}}{2}，xn=12(xn−1+xn−2)x_{n} = \frac{1}{2} (x_{n - 1} + x_{n - 2})，n=3n = 3，44，…\dots. 若 lim⁡n→∞xn=2\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_{n} = 2，则 x1=x_{1} =（ ）
A.
32\frac{3}{2}
B.
33
C.
44
D.
55

2005 · 广东 · 第 10 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
已知 α\alpha，β\beta，γ\gamma 成公比为 22 的等比数列（α∈[0,2π]\alpha \in [0, 2\pi]），且 sin⁡α\sin \alpha，sin⁡β\sin \beta，sin⁡γ\sin \gamma 也成等比数列. 求 α\alpha，β\beta，γ\gamma 的值.

2004 · 广东 · 第 17 题 · 解答题

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