数迹
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075分数列★★★☆☆
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深邃的历史文化闻名遐迩. 该塔群共有 108108 座塔，依山势自上而下排成 1212 行，将第 ii 行中塔的座数记为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1212），其中 a1=1a_1=1，a2=a3=3a_2=a_3=3，a4=a5=5a_4=a_5=5，且 a6a_6，a7a_7，⋯\cdots，a12a_{12} 是一个首项为 77，公差为 22 的等差数列. 将 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12} 分为 66 组，每组 22 个数，使得每组的 22 个数之和可构成一个项数为 66 且公差为 dd（d>0d>0）的等差数列，则 d=d=（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2026 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 设甲：{an}\{a_n\} 为等差数列，乙：{Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，函数 f(x)=ax2+bf(x)=ax^{2}+b（x∈Rx\in\mathbf{R}）. 若 f(s−t)f(s-t)，f(s)f(s)，f(s+t)f(s+t) 成等比数列，则平面上点 (s,t)(s,t) 的轨迹是（ ）
A.
直线和圆
B.
直线和椭圆
C.
直线和双曲线
D.
直线和抛物线

2021 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，公差 d≠0d\neq0，且 a1d≤1\dfrac{a_1}{d}\le1. 记 b1=S2b_1=S_2，bn+1=S2n+2−S2nb_{n+1}=S_{2n+2}-S_{2n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），下列等式不可能成立的是（ ）
A.
2a4=a2+a62a_4=a_2+a_6
B.
2b4=b2+b62b_4=b_2+b_6
C.
a42=a2a8a_4^2=a_2a_8
D.
b42=b2b8b_4^2=b_2b_8

2020 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
如图，点列 {An}\{A_n\}，{Bn}\{B_n\} 分别在某锐角的两边上，且 ∣AnAn+1∣=∣An+1An+2∣|A_nA_{n+1}|=|A_{n+1}A_{n+2}|，An≠An+1A_n\ne A_{n+1}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，∣BnBn+1∣=∣Bn+1Bn+2∣|B_nB_{n+1}|=|B_{n+1}B_{n+2}|，Bn≠Bn+1B_n\ne B_{n+1}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*（P≠QP\ne Q 表示点 PP 与点 QQ 不重合）. 若 dn=∣AnBn∣d_n=|A_nB_n|，SnS_n 为 △AnBnBn+1\triangle A_nB_nB_{n+1} 的面积，则（ ）
A.
{Sn}\{S_n\} 是等差数列
B.
{Sn2}\{S_n^2\} 是等差数列
C.
{dn}\{d_n\} 是等差数列
D.
{dn2}\{d_n^2\} 是等差数列

2016 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足 a1=2a_1=2，b1=1b_1=1，an+1=2ana_{n+1}=2a_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}），b1+12b2+13b3+⋯+1nbn=bn+1−1b_1+\frac{1}{2}b_2+\frac{1}{3}b_3+\dots+\frac{1}{n}b_n=b_{n+1}-1（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）.
(1) 求 ana_n 与 bnb_n； (2) 记数列 {anbn}\{a_nb_n\} 的前 nn 项和为 TnT_n，求 TnT_n.

2015 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 d>0d > 0，设 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，a1=1a_{1} = 1，S2⋅S3=36S_{2} \cdot S_{3} = 36.
(1) 求 dd 及 SnS_{n}； (2) 求 mm，kk（mm，k∈N∗k \in \mathbf{N}^*）的值，使得 am+am+1+am+2+⋯+am+k=65a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_{m+k} = 65.

2014 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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05数列★★★☆☆
某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 95\frac{9}{5}，则（ ）
A.
a=4a = 4
B.
a=5a = 5
C.
a=6a = 6
D.
a=7a = 7

2013 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
在公差为 dd 的等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知 a1=10a_{1} = 10，且 a1a_{1}，2a2+22a_{2} + 2，5a35a_{3} 成等比数列.
(1) 求 dd，ana_{n}； (2) 若 d<0d < 0，求 ∣a1∣+∣a2∣+∣a3∣+⋯+∣an∣\left|a_{1}\right| + \left|a_{2}\right| + \left|a_{3}\right| + \cdots + \left|a_{n}\right|.

2013 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
在公差为 dd 的等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，已知 a1=10a_1 = 10，且 a1a_1，2a2+22a_2 + 2，5a35a_3 成等比数列.
(1) 求 dd，ana_{n}； (2) 若 d<0d < 0，求 ∣a1∣+∣a2∣+∣a3∣+⋯+∣an∣\left|a_{1}\right| + \left|a_{2}\right| + \left|a_{3}\right| + \cdots + \left|a_{n}\right|.

2013 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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07数列★★★☆☆
设 SnS_{n} 是公差为 dd（d≠0d \neq 0） 的无穷等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，则下列命题错误的是（ ）
A.
若 d<0d < 0，则数列 {Sn}\{S_{n}\} 有最大项
B.
若数列 {Sn}\{S_{n}\} 有最大项，则 d<0d < 0
C.
若数列 {Sn}\{S_{n}\} 是递增数列，则对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，均有 Sn>0S_{n} > 0
D.
若对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，均有 Sn>0S_n > 0，则数列 {Sn}\{S_n\} 是递增数列

2012 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 Sn=2n2+nS_{n} = 2n^{2} + n，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 an=4log⁡2bn+3a_{n} = 4\log_{2}b_{n} + 3，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 ana_{n}，bnb_{n}； (2) 求数列 {an⋅bn}\{a_{n} \cdot b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2012 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
若数列 {n(n+4)(23)n}\left\{n(n + 4)\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\} 中的最大项是第 kk 项，则 k=k =______.

2011 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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19数列★★★☆☆
已知公差不为 0 的等差数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1a_{1} 为 aa （a∈Ra \in \mathbf{R}），且 1a1\frac{1}{a_1}，1a2\frac{1}{a_2}，1a4\frac{1}{a_4} 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 对 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，试比较 1a2+1a22+1a23+⋯+1a2n\frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_{2^2}} + \frac{1}{a_{2^3}} + \cdots + \frac{1}{a_{2^n}} 与 1a1\frac{1}{a_1} 的大小.

2011 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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15数列★★★☆☆
设 a1a_1，dd 为实数. 首项为 a1a_1，公差为 dd 的等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，满足 S5S6+15=0S_5S_6 + 15 = 0，则 dd 的取值范围是______. \begin{answer} d⩽−22d \leqslant -2\sqrt{2} 或 d⩾22d \geqslant 2\sqrt{2} \end{answer}
\begin{solution} 由等差数列前 nn 项和公式， S5=5(a1+2d)S_5=5(a_1+2d)，S6=3(2a1+5d)S_6=3(2a_1+5d). 代入题设得
15(a1+2d)(2a1+5d)+15=015(a_1+2d)(2a_1+5d)+15=0
即
2a12+9a1d+10d2+1=02a_1^2+9a_1d+10d^2+1=0
把它看作关于 a1a_1 的一元二次方程，为使 a1a_1 有实数解，判别式应满足
Δ=(9d)2−4⋅2(10d2+1)=d2−8⩾0\Delta=(9d)^2-4\cdot2(10d^2+1)=d^2-8\geqslant0
所以 ∣d∣⩾22|d|\geqslant2\sqrt2，即
d⩽−22或d⩾22d\leqslant-2\sqrt2\quad\text{或}\quad d\geqslant2\sqrt2
\end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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19数列★★★☆☆
设 a1a_1，dd 为实数，首项为 a1a_1，公差为 dd 的等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，满足 S5S6+15=0S_5S_6 + 15 = 0.
(1) 若 S5=5S_5 = 5，求 S6S_6 及 a1a_1； (2) 求 dd 的取值范围.

2010 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，则 S4S_{4}，S8−S4S_{8} - S_{4}，S12−S8S_{12} - S_{8}，S16−S12S_{16} - S_{12} 成等差数列. 类比以上结论有：设等比数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项积为 TnT_{n}，则 T4T_{4}，______，______，T16T12\frac{T_{16}}{T_{12}} 成等比数列.

2009 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20数列★★★☆☆
设 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，Sn=kn2+nS_{n} = kn^{2} + n，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，其中 kk 是常数.
(1) 求 a1a_{1} 及 ana_{n}； (2) 若对于任意的 m∈N∗m \in \mathbf{N}^*，ama_m，a2ma_{2m}，a4ma_{4m} 成等比数列，求 kk 的值.

2009 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等比数列，a2=2a_{2} = 2，a5=14a_{5} = \frac{1}{4}，则 a1a2+a2a3+⋯+anan+1=a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + \cdots + a_{n}a_{n+1} =（ ）
A.
16(1−4−n)16(1 - 4^{-n})
B.
16(1−2−n)16(1 - 2^{-n})
C.
323(1−4−n)\frac{32}{3}(1 - 4^{-n})
D.
323(1−2−n)\frac{32}{3}(1 - 2^{-n})

2008 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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15概率与统计★★★☆☆
随机变量 ξ\xi 的分布列如下：
ξ\xi−1-10011
其中 aa，bb，cc 成等差数列. 若 E(ξ)=13E(\xi) = \frac{1}{3}，则 D(ξ)D(\xi) 的值是______. \begin{answer} 59\frac{5}{9} \end{answer}
\begin{solution} 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b. 又由分布列的概率和为 11，得 a+b+c=1a+b+c=1，从而 b=13b=\dfrac13，a+c=23a+c=\dfrac23. 由期望条件
E(ξ)=−a+c=13E(\xi)=-a+c=\frac13
解得 a=16a=\dfrac16，c=12c=\dfrac12. 于是 E(ξ2)=a+c=23E(\xi^2)=a+c=\frac23，D(ξ)=E(ξ2)−E(ξ)2=23−19=59D(\xi)=E(\xi^2)-E(\xi)^2=\frac23-\frac19=\frac59. \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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