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075分数列★★★☆☆
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深邃的历史文化闻名遐迩. 该塔群共有 108108 座塔，依山势自上而下排成 1212 行，将第 ii 行中塔的座数记为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1212），其中 a1=1a_1=1，a2=a3=3a_2=a_3=3，a4=a5=5a_4=a_5=5，且 a6a_6，a7a_7，⋯\cdots，a12a_{12} 是一个首项为 77，公差为 22 的等差数列. 将 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12} 分为 66 组，每组 22 个数，使得每组的 22 个数之和可构成一个项数为 66 且公差为 dd（d>0d>0）的等差数列，则 d=d=（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2026 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 设甲：{an}\{a_n\} 为等差数列，乙：{Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比不为 11 的等比数列，a1a_1 为 a2a_2，a3a_3 的等差中项.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的公比； (2) 若 a1=1a_1=1，求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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05数列★★★☆☆
设 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，an∈Ra_n\in\mathbf{R}，n⩾3n\geqslant3. 若 pp：a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n 成等比数列；qq：(a12+a22+⋯+an−12)(a22+a32+⋯+an2)=(a1a2+a2a3+⋯+an−1an)2(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2)(a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2)=(a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n)^2，则（ ）
A.
pp 是 qq 的充分条件，但不是 qq 的必要条件
B.
pp 是 qq 的必要条件，但不是 qq 的充分条件
C.
pp 是 qq 的充分必要条件
D.
pp 既不是 qq 的充分条件，也不是 qq 的必要条件

2015 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，前 nn 项和为 SnS_n，等比数列 {bn}\{b_n\} 的公比为 qq. 已知 b1=a1b_1=a_1，b2=2b_2=2，q=dq=d，S10=100S_{10}=100.
(1) 求数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 当 d>1d>1 时，记 cn=anbnc_n=\dfrac{a_n}{b_n}，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2015 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，前 nn 项和为 SnS_n，等比数列 {bn}\{b_n\} 的公比为 qq. 已知 b1=a1b_1=a_1，b2=2b_2=2，q=dq=d，S10=100S_{10}=100.
(1) 求数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 当 d>1d>1 时，记 cn=anbnc_n=\dfrac{a_n}{b_n}，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2015 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足： a1=2a_{1} = 2，且 a1a_{1}，a2a_{2}，a5a_{5} 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (2) 记 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，是否存在正整数 nn，使得 Sn>60n+800S_{n} > 60n + 800？若存在，求出 nn 的最小值；若不存在，说明理由.

2014 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a1=2a_1 = 2，且 a1a_1，a2a_2，a5a_5 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 记 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，是否存在正整数 nn，使得 Sn>60n+800S_{n} > 60n + 800？若存在，求出 nn 的最小值；若不存在，说明理由.

2014 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_{n}\} 满足：∣a2−a3∣=10\left|a_2 - a_3\right| = 10，a1a2a3=125a_1a_2a_3 = 125.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 是否存在正整数 mm，使得 1a1+1a2+⋯+1am⩾1\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_m} \geqslant 1. 若存在，求 mm 的最小值；若不存在，说明理由.

2013 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知 SnS_n 是等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，S4S_4，S2S_2，S3S_3 成等差数列，且 a2+a3+a4=−18a_2+a_3+a_4=-18.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 是否存在正整数 nn，使得 Sn⩾2013S_n\geqslant 2013？若存在，求出符合条件的所有 nn 的集合；若不存在，说明理由.

2013 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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07数列★★★☆☆
定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的函数 f(x)f(x)，如果对于任意给定的等比数列 {an}\{a_n\}，{f(an)}\{f(a_n)\} 仍是等比数列，则称 f(x)f(x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的如下函数：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}； ② f(x)=2xf(x)=2^{x}； ③ f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}； ④ f(x)=ln⁡∣x∣f(x)=\ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的 f(x)f(x) 的序号为（ ）
A.
①②
B.
③④
C.
①③
D.
②④

2012 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 前三项的和为 −3-3，前三项的积为 88.
(1) 求等差数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若 a2a_{2}，a3a_{3}，a1a_{1} 成等比数列，求数列 {∣an∣}\{|a_{n}|\} 的前 nn 项和.

2012 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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07数列★★★☆☆
定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的函数 f(x)f(x)，如果对于任意给定的等比数列 {an}\{a_{n}\}，{f(an)}\{f(a_{n})\} 仍是等比数列，则称 f(x)f(x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的如下函数：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}； ② f(x)=2xf(x)=2^{x}； ③ f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}； ④ f(x)=ln⁡∣x∣f(x)=\ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的 f(x)f(x) 的序号为（ ）
A.
①②
B.
③④
C.
①③
D.
②④

2012 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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20数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 前三项的和为−3-3，前三项的积为8.
(1) 求等差数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若 a2a_{2}，a3a_{3}，a1a_{1} 成等比数列，求数列 {∣an∣}\{|a_{n}|\} 的前 nn 项和.

2012 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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15数列★★★☆☆
给 nn 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当 n⩽4n\leqslant4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：
由此推断，当 n=6n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有______ 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有______ 种.（结果用数值表示） {}

2011 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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09数列★★★☆☆
《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 99 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 44 节的容积共 3 升3\text{ 升}，下面 33 节的容积共 4 升4\text{ 升}，则第 55 节的容积为（ ）
A.
1 升1\text{ 升}
B.
6766 升\frac{67}{66}\text{ 升}
C.
4744 升\frac{47}{44}\text{ 升}
D.
3733 升\frac{37}{33}\text{ 升}

2011 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
成等差数列的三个正数的和等于 1515，并且这三个数分别加上 22，55，1313 后成为等比数列 {bn}\{b_n\} 中的 b3b_3，b4b_4，b5b_5.
(1) 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，求证：数列 {Sn+54}\left\{S_{n}+\frac{5}{4}\right\} 是等比数列.

2011 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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07数列★★★☆☆
如图，在半径为 rr 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 SnS_{n} 为前 nn 个圆的面积之和，则 lim⁡n→∞Sn=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=（ ）
A.
2πr22\pi r^{2}
B.
83πr2\frac{8}{3}\pi r^2
C.
4πr24\pi r^{2}
D.
6πr26\pi r^{2}

2010 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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21数列★★★☆☆
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 aa（单位：m2\mathrm{m}^2），其中有部分旧住房需要拆除. 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%10\% 建设新住房，同时也拆除面积为 bb（单位：m2\mathrm{m}^2）的旧住房.
(1) 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式； (2) 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%30\%，则每年拆除的旧住房面积 bb 是多少？（计算时取 1.15=1.61.1^{5}=1.6）

2010 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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15数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a1=ma_1 = m（mm 为正整数），
an+1={an2,当 an 为偶数时,3an+1,当 an 为奇数时.a_{n+1} = \begin{cases} \frac{a_n}{2}, & \text{当 } a_n \text{ 为偶数时},\\ 3a_n + 1, & \text{当 } a_n \text{ 为奇数时}. \end{cases}
若 a6=1a_6 = 1，则 mm 所有可能的取值为______.

2009 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的11，33，66，1010，⋯\cdots，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的11，44，99，1616，⋯\cdots这样的数称为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
 to 
 0.4
 to
A.
289289
B.
10241024
C.
12251225
D.
13781378

2009 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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