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共找到 17 题
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075分数列★★★☆☆
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深邃的历史文化闻名遐迩. 该塔群共有 108108 座塔，依山势自上而下排成 1212 行，将第 ii 行中塔的座数记为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1212），其中 a1=1a_1=1，a2=a3=3a_2=a_3=3，a4=a5=5a_4=a_5=5，且 a6a_6，a7a_7，⋯\cdots，a12a_{12} 是一个首项为 77，公差为 22 的等差数列. 将 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12} 分为 66 组，每组 22 个数，使得每组的 22 个数之和可构成一个项数为 66 且公差为 dd（d>0d>0）的等差数列，则 d=d=（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2026 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 设甲：{an}\{a_n\} 为等差数列，乙：{Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比不为 11 的等比数列，a1a_1 为 a2a_2，a3a_3 的等差中项.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的公比； (2) 若 a1=1a_1=1，求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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08数列★★★☆☆
若 aa、bb 是函数 f(x)=x2−px+qf(x) = x^2 - px + q（p>0p > 0，q>0q > 0）的两个不同的零点，且 aa、bb、−2-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+qp + q 的值等于（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2015 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，记 bn=am(n−1)+1+am(n−1)+2+⋯+am(n−1)+mb_n = a_{m(n-1)+1} + a_{m(n-1)+2} + \cdots + a_{m(n-1)+m}，cn=am(n−1)+1⋅am(n−1)+2⋅⋯⋅am(n−1)+mc_n = a_{m(n-1)+1} \cdot a_{m(n-1)+2} \cdot \cdots \cdot a_{m(n-1)+m} （mm，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），则以下结论一定正确的是（ ）
A.
数列 {bn}\{b_n\} 为等差数列，公差为 qmq^{m}
B.
数列 {bn}\{b_n\} 为等比数列，公比为 q2mq^{2m}
C.
数列 {cn}\{c_n\} 为等比数列，公比为 qm2q^{m^{2}}
D.
数列 {cn}\{c_n\} 为等比数列，公比为 qmmq^{m^{m}}

2013 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 和等比数列 {bn}\{b_{n}\} 中，a1=b1=1a_{1} = b_{1} = 1，b4=8b_{4} = 8，{an}\{a_{n}\} 的前 10 项和 S10=55S_{10} = 55.
(1) 求 ana_{n} 和 bnb_{n}； (2) 现分别从 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.

2012 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
五位同学围成一圈依次循环报数，规定：
① 第一位同学首次报出的数为 11，第二位同学首次报出的数也为 11，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和. ② 若报出的数为 33 的倍数，则报该次的同学需拍手一次.
当第 3030 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为______.

2009 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是正数组成的数列，a1=1a_{1} = 1，且点 (an,an+1)(\sqrt{a_{n}}, a_{n+1})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）在函数 y=x2+1y = x^{2} + 1 的图象上.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1=1b_{1}=1，bn+1=bn+2anb_{n+1}=b_{n}+2^{a_{n}}，求证：bn⋅bn+2<bn+12b_{n}\cdot b_{n+2}<b_{n+1}^{2}.

2008 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，a1=1+2a_{1} = 1 + \sqrt{2}，S3=9+32S_{3} = 9 + 3\sqrt{2}.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项 ana_{n} 与前 nn 项和为 SnS_{n}； (2) 设 bn=Snnb_{n} = \frac{S_{n}}{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），求证：数列 {bn}\{b_{n}\} 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

2007 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
如图，连结 △ABC\triangle ABC 的各边中点得到一个新的 △A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1}，又连结 △A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1} 的各边中点得到一个新的 △A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2}，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC\triangle ABC，△A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1}，△A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2}，⋯\cdots，这一系列三角形趋向于一个点 MM. 已知 A(0,0)A(0,0)，B(3,0)B(3,0)，C(2,2)C(2,2)，则点 MM 的坐标是______.

2006 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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19数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是公比为 qq 的等比数列，且 a1a_{1}，a3a_{3}，a2a_{2} 成等差数列.
(1) 求 qq 的值； (2) 设 {bn}\{b_n\} 是以 2 为首项，qq 为公差的等差数列，其前 nn 项和为 SnS_n，当 n⩾2n \geqslant 2 时，比较 SnS_n 与 bnb_n 的大小，并说明理由.

2005 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (1−2x)9(1-2^x)^9 展开式的第 33 项为 288288，则 lim⁡n→∞(1x+1x2+⋯+1xn)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots+\frac{1}{x^n}\right) 的值是（\quad）
A.
22
B.
11
C.
12\frac{1}{2}
D.
25\frac{2}{5}

2004 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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20数列★★★☆☆
某企业 20032003 年的纯利润为 500 万元500\text{ 万元}，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元20\text{ 万元}，今年初该企业一次性投入资金 600 万元600\text{ 万元} 进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 nn 年（今年为第一年）的利润为 500(1+12n) 万元500\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\text{ 万元}（nn 为正整数）.
(1) 设从今年起的前 nn 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元A_n\text{ 万元}，进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元B_n\text{ 万元}（须扣除技术改造资金），求 AnA_n，BnB_n 的表达式； (2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

2004 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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