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106分数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q≠1q\ne 1，a1>0a_1>0，2a3=a1+a22a_3=a_1+a_2，记其前 nn 项和为 SnS_n，则（ ）
A.
q=−12q=-\frac{1}{2}
B.
Sn>2a13S_n>\frac{2a_1}{3}
C.
2Sn+2=Sn+1+Sn2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n
D.
∑k=1nSk>2na13\sum_{k=1}^{n} S_k>\frac{2na_1}{3}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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096分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，qq 为 {an}\{a_n\} 的公比，q>0q>0. 若 S3=7S_3=7，a3=1a_3=1，则（ ）
A.
q=12q=\frac12
B.
a5=19a_5=\frac19
C.
S5=8S_5=8
D.
an+Sn=8a_n+S_n=8

2025 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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085分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 S4=−5S_4=-5，S6=21S2S_6=21S_2，则 S8=S_8=（ ）
A.
120
B.
85
C.
−85-85
D.
−120-120

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 是公比为 2 的等比数列，且 a2−b2=a3−b3=b4−a4a_2-b_2=a_3-b_3=b_4-a_4.
(1) 证明：a1=b1a_1=b_1； (2) 求集合 {k∣bk=am+a1, 1≤m≤500}\{k\mid b_k=a_m+a_1,\ 1\le m\le 500\} 中元素个数.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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04数列★★★☆☆
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层. 上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 99 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 99 块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多 99 块，向外每环依次也增加 99 块. 已知每层环数相同，且下层比中层多 729729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A.
36993699 块
B.
34743474 块
C.
34023402 块
D.
33393339 块

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_n\} 中，a1=2a_1=2，am+n=amana_{m+n}=a_m a_n. 若 ak+1+ak+2+⋯+ak+10=215−25a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^5，则 k=k=（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足 a1=1a_1=1，b1=0b_1=0，4an+1=3an−bn+44a_{n+1}=3a_n-b_n+4，4bn+1=3bn−an−44b_{n+1}=3b_n-a_n-4.
(1) 证明：{an+bn}\{a_n+b_n\} 是等比数列，{an−bn}\{a_n-b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，a1=2a_1=2，a3=2a2+16a_3=2a_2+16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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09数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，若数列 {2a1an}\{2^{a_{1}a_{n}}\} 为递减数列，则（ ）
A.
d<0d < 0
B.
d>0d > 0
C.
a1d>0a_{1}d > 0
D.
a1d<0a_{1}d < 0

2014 · 辽宁 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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04数列★★★☆☆
下面是关于公差 d>0d > 0 的等差数列 {an}\{a_n\} 的四个命题：
① 数列 {an}\{a_n\} 是递增数列 ② 数列 {nan}\{na_n\} 是递增数列 ③ 数列 {ann}\left\{\frac{a_n}{n}\right\} 是递增数列 ④ 数列 {an+3nd}\{a_n + 3nd\} 是递增数列
其中的真命题为（ ）
A.
p1p_1，p2p_2
B.
p3p_3，p4p_4
C.
p2p_2，p3p_3
D.
p1p_1，p4p_4

2013 · 辽宁 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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04数列★★★☆☆
下面是关于公差 d>0d > 0 的等差数列 {an}\{a_{n}\} 的四个命题：
① p1p_{1}：数列 {an}\{a_{n}\} 是递增数列； ② p2p_{2}：数列 {nan}\{na_{n}\} 是递增数列； ③ p3p_{3}：数列 {ann}\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\} 是递增数列； ④ p4p_{4}：数列 {an+3nd}\{a_{n}+3nd\} 是递增数列.
其中的真命题为（ ）
A.
p1p_1，p2p_2
B.
p3p_3，p4p_4
C.
p2p_2，p3p_3
D.
p1p_1，p4p_4

2013 · 辽宁 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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14数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_{n}\} 为递增数列，且 a52=a10a_{5}^{2}=a_{10}，2(an+an+2)=5an+12(a_{n}+a_{n+2})=5a_{n+1}，则数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式 an=a_{n}=______.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 角 AA，BB，CC 成等差数列.
(1) 求 cos⁡B\cos B 的值. (2) 若边 aa，bb，cc 成等比数列，求 sin⁡Asin⁡C\sin A \sin C 的值.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a2=0a_{2} = 0，a6+a8=−10a_{6} + a_{8} = -10.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 求数列 {an2n−1}\left\{\frac{a_{n}}{2^{n-1}}\right\} 的前 nn 项和.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=33a_{1} = 33，an+1−an=2na_{n+1} - a_{n} = 2n，则 ann\frac{a_n}{n} 的最小值为______.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 满足 a1=2a_1=2，b1=1b_1=1，且
{an=34an−1+14bn−1+1,bn=14an−1+34bn−1+1,\begin{cases} a_n=\frac{3}{4}a_{n-1}+\frac{1}{4}b_{n-1}+1,\\ b_n=\frac{1}{4}a_{n-1}+\frac{3}{4}b_{n-1}+1, \end{cases}
（n⩾2n\geqslant2）.
(1) 令 cn=an+bnc_n=a_n+b_n，求数列 {cn}\{c_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式及前 nn 项和.

2007 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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14数列★★★☆☆
lim⁡n→∞(45−67)+(452−672)+⋯+(45n−67n)(46−45)+(462−452)+⋯+(46n−45n)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{4}{5} - \frac{6}{7}\right) + \left(\frac{4}{5^2} - \frac{6}{7^2}\right) + \cdots + \left(\frac{4}{5^n} - \frac{6}{7^n}\right)}{\left(\frac{4}{6} - \frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{6^2} - \frac{4}{5^2}\right) + \cdots + \left(\frac{4}{6^n} - \frac{4}{5^n}\right)} =______.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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20数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 Sn=pn2−2n+qS_{n} = pn^{2} - 2n + q（p∈Rp\in\mathbf{R}，q∈Rq\in\mathbf{R}），n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}.
(1) 求 qq 的值； (2) 若 a1a_{1} 与 a5a_{5} 的等差中项为 1818，bnb_{n} 满足 an=2log⁡2bna_{n} = 2 \log_{2} b_{n}，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2006 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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08三角函数★★★☆☆
若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 mm，则 mm 的范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设三个内角依次为 π3−t\frac\pi3-t、π3\frac\pi3、π3+t\frac\pi3+t. 因三角形为钝角三角形，最大角满足 π3+t>π2\frac\pi3+t>\frac\pi2，又必须小于 2π3\frac{2\pi}3，故 π6<t<π3\frac\pi6<t<\frac\pi3. 由正弦定理，最大边与最小边的比值为 m=sin⁡(π3+t)sin⁡(π3−t)m=\dfrac{\sin(\frac\pi3+t)}{\sin(\frac\pi3-t)}. 对 mm 求导得 m′(t)=sin⁡(2π3)sin⁡2(π3−t)>0m'(t)=\dfrac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\sin^2\left(\frac\pi3-t\right)}>0. 当 t→π6+t\to\frac\pi6+ 时，m→112=2m\to\frac1{\frac{1}{2}}=2；当 t→π3−t\to\frac\pi3- 时，分母趋于 0+0^+，故 m→+∞m\to+\infty. 因而 m∈(2,+∞)m\in(2,+\infty)，选 B. \end{solution}
A.
(1,2)(1,2)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
[3,+∞)[3, +\infty)
D.
(3,+∞)(3, +\infty)

2005 · 辽宁 · 第 8 题 · 选择题

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