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106分数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q≠1q\ne 1，a1>0a_1>0，2a3=a1+a22a_3=a_1+a_2，记其前 nn 项和为 SnS_n，则（ ）
A.
q=−12q=-\frac{1}{2}
B.
Sn>2a13S_n>\frac{2a_1}{3}
C.
2Sn+2=Sn+1+Sn2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n
D.
∑k=1nSk>2na13\sum_{k=1}^{n} S_k>\frac{2na_1}{3}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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096分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，qq 为 {an}\{a_n\} 的公比，q>0q>0. 若 S3=7S_3=7，a3=1a_3=1，则（ ）
A.
q=12q=\frac12
B.
a5=19a_5=\frac19
C.
S5=8S_5=8
D.
an+Sn=8a_n+S_n=8

2025 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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085分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 S4=−5S_4=-5，S6=21S2S_6=21S_2，则 S8=S_8=（ ）
A.
120
B.
85
C.
−85-85
D.
−120-120

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 是公比为 2 的等比数列，且 a2−b2=a3−b3=b4−a4a_2-b_2=a_3-b_3=b_4-a_4.
(1) 证明：a1=b1a_1=b_1； (2) 求集合 {k∣bk=am+a1, 1≤m≤500}\{k\mid b_k=a_m+a_1,\ 1\le m\le 500\} 中元素个数.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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04数列★★★☆☆
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层. 上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 99 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 99 块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多 99 块，向外每环依次也增加 99 块. 已知每层环数相同，且下层比中层多 729729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A.
36993699 块
B.
34743474 块
C.
34023402 块
D.
33393339 块

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_n\} 中，a1=2a_1=2，am+n=amana_{m+n}=a_m a_n. 若 ak+1+ak+2+⋯+ak+10=215−25a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^5，则 k=k=（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足 a1=1a_1=1，b1=0b_1=0，4an+1=3an−bn+44a_{n+1}=3a_n-b_n+4，4bn+1=3bn−an−44b_{n+1}=3b_n-a_n-4.
(1) 证明：{an+bn}\{a_n+b_n\} 是等比数列，{an−bn}\{a_n-b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，a1=2a_1=2，a3=2a2+16a_3=2a_2+16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是公比为正数的等比数列，a1=2a_{1} = 2，a3=a2+4a_{3} = a_{2} + 4.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 {bn}\{b_{n}\} 是首项为 1，公差为 2 的等差数列. 求数列 {an+bn}\{a_{n} + b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2011 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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14数列★★★☆☆
设 a1=2a_1 = 2，an+1=2an+1a_{n+1} = \frac{2}{a_n + 1}，bn=∣an+2an−1∣b_n = \left|\frac{a_n + 2}{a_n - 1}\right|，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，则数列 {bn}\{b_n\} 的通项 bn=b_n =______.
\begin{answer} 2n+12^{n+1} \end{answer}
\begin{solution} 由递推式 an+1−1=1−anan+1=−an−1an+1a_{n+1}-1=\frac{1-a_n}{a_n+1}=-\frac{a_n-1}{a_n+1}，an+1+2=2(an+2)an+1a_{n+1}+2=\frac{2(a_n+2)}{a_n+1}. 因此
bn+1=∣an+1+2an+1−1∣=2∣an+2an−1∣=2bnb_{n+1}=\left|\frac{a_{n+1}+2}{a_{n+1}-1}\right| =2\left|\frac{a_n+2}{a_n-1}\right|=2b_n
又 b1=∣(2+2)(2−1)∣=4=22b_1=|\frac{(2+2)}{(2-1)}|=4=2^2，所以
bn=b1⋅2n−1=2n+1b_n=b_1\cdot2^{n-1}=2^{n+1}
递推所得各项为正，且若某项等于 1，则由递推反推会得到 a1=1a_1=1，与 a1=2a_1=2 矛盾，故上述分式始终有意义. \end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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11数列★★★☆☆
设 3b\sqrt{3}b 是 1−a1 - a 和 1+a1 + a 的等比中项，则 a+3ba + 3b 的最大值为（\quad）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2007 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示. 上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为 22，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过 3939，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

2005 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
如图 P1P_1 是一块半径为 11 的半圆形纸板，在 P1P_1 的左下端剪去一个半径为 12\frac{1}{2} 的半圆后得到图形 P2P_2. 然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形 P3P_3，P4P_4，⋯\cdots，PnP_n，⋯\cdots，记纸板 PnP_n 的面积为 SnS_n，则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=______.

2004 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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