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106分数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q≠1q\ne 1，a1>0a_1>0，2a3=a1+a22a_3=a_1+a_2，记其前 nn 项和为 SnS_n，则（ ）
A.
q=−12q=-\frac{1}{2}
B.
Sn>2a13S_n>\frac{2a_1}{3}
C.
2Sn+2=Sn+1+Sn2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n
D.
∑k=1nSk>2na13\sum_{k=1}^{n} S_k>\frac{2na_1}{3}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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096分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，qq 为 {an}\{a_n\} 的公比，q>0q>0. 若 S3=7S_3=7，a3=1a_3=1，则（ ）
A.
q=12q=\frac12
B.
a5=19a_5=\frac19
C.
S5=8S_5=8
D.
an+Sn=8a_n+S_n=8

2025 · 全国 · 二卷 · 第 9 题 · 多选题

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12解析几何★★★☆☆
已知 bb 是 aa，cc 的等差中项，直线 ax+by+c=0ax+by+c=0 与圆 x2+y2+4y−1=0x^2+y^2+4y-1=0 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣\left| AB \right| 的最小值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
252\sqrt{5}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 4Sn=3an+44S_n=3a_n+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n=\left( -1 \right)^{n-1}na_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 2Sn=3an+1−32S_n=3a_{n+1}-3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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10数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 2π3\frac{2\pi}{3}，集合 S={cos⁡an∣n∈N∗}={a,b}S=\{\cos a_n\mid n\in\mathbf{N}^*\}=\{a,b\}，则 ab=ab=（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac12
C.
00
D.
12\frac12

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2a4a5=a3a6a_2a_4a_5=a_3a_6，a9a10=−8a_9a_{10}=-8，则 a7=a_7=______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a2=11a_2=11，S10=40S_{10}=40.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {∣an∣}\{|a_n|\} 的前 nn 项和 TnT_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等差数列 {an}\{a_n\} 的首项为 a1a_1，公差为 dd，则 a2=a1+d=11a_2=a_1+d=11. 又因为 S10=102(2a1+9d)=40S_{10}=\dfrac{10}{2}(2a_1+9d)=40，所以 2a1+9d=82a_1+9d=8. 联立得 a1=13a_1=13，d=−2d=-2，从而 an=a1+(n−1)d=13−2(n−1)=15−2na_n=a_1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n. \item 当 1≤n≤71\le n\le7 时，an=15−2n>0a_n=15-2n>0，所以 Tn=∑k=1n(15−2k)=n(14−n)T_n=\sum_{k=1}^n(15-2k)=n(14-n).
当 n≥8n\ge8 时，a1a_1，…\ldots，a7a_7 为正数，且 ak<0a_k<0（k≥8k\ge8），因此 Tn=∑k=17(15−2k)+∑k=8n(2k−15)=49+(n−7)2T_n=\sum_{k=1}^7(15-2k)+\sum_{k=8}^n(2k-15)=49+(n-7)^2. 综上，
Tn={n(14−n),1≤n≤7,49+(n−7)2,n≥8.T_n=\begin{cases} n(14-n),&1\le n\le7,\\ 49+(n-7)^2,&n\ge8. \end{cases}
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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04数列★★★☆☆
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层. 上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 99 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 99 块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多 99 块，向外每环依次也增加 99 块. 已知每层环数相同，且下层比中层多 729729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A.
36993699 块
B.
34743474 块
C.
34023402 块
D.
33393339 块

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_n\} 中，a1=2a_1=2，am+n=amana_{m+n}=a_m a_n. 若 ak+1+ak+2+⋯+ak+10=215−25a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^5，则 k=k=（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足 a1=1a_1=1，b1=0b_1=0，4an+1=3an−bn+44a_{n+1}=3a_n-b_n+4，4bn+1=3bn−an−44b_{n+1}=3b_n-a_n-4.
(1) 证明：{an+bn}\{a_n+b_n\} 是等比数列，{an−bn}\{a_n-b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，a1=2a_1=2，a3=2a2+16a_3=2a_2+16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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14数列★★★☆☆
已知 f(x)=x1+xf(x) = \frac{x}{1 + x}，x⩾0x \geqslant 0，若 f1(x)=f(x)f_1(x) = f(x)，fn+1(x)=f(fn(x))f_{n+1}(x) = f(f_n(x))，n∈N+n \in \mathbf{N}_+，则 f2014(x)f_{2014}(x) 的表达式为______. \begin{answer} x2014x+1\frac{x}{2014x+1} \end{answer} \begin{solution} 先证明 fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx}. 由于 x⩾0x\geqslant0 且 n∈N+n\in\mathbf N_+，有 1+nx>01+nx>0，所以各步分式均有意义. 当 n=1n=1 时，f1(x)=f(x)=x1+xf_1(x)=f(x)=\frac{x}{1+x}，结论成立. 若 fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx}，则
fn+1(x)=f(x1+nx)=x1+nx1+x1+nx=x1+(n+1)xf_{n+1}(x)=f\left(\frac{x}{1+nx}\right) =\frac{\frac{x}{1+nx}}{1+\frac{x}{1+nx}} =\frac{x}{1+(n+1)x}
由数学归纳法，fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx} 对一切 n∈N+n\in\mathbf N_+ 成立. 因此
f2014(x)=x1+2014x=x2014x+1f_{2014}(x)=\frac{x}{1+2014x}=\frac{x}{2014x+1}
\end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc.
(1) 若 aa，bb，cc 成等差数列，证明：sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡(A+C)\sin A + \sin C = 2\sin (A + C)； (2) 若 aa，bb，cc 成等比数列，且 c=2ac = 2a，求 cos⁡B\cos B 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由正弦定理，存在 k>0k>0 使 a=ksin⁡Aa=k\sin A，b=ksin⁡Bb=k\sin B，c=ksin⁡Cc=k\sin C. 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b，从而 sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡B\sin A+\sin C=2\sin B. 又 A+B+C=πA+B+C=\pi，故 sin⁡B=sin⁡(A+C)\sin B=\sin(A+C)，所以 sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡(A+C)\sin A+\sin C=2\sin(A+C).
\item 因为 aa，bb，cc 为三角形的边，均为正数. 设等比数列公比为 q>0q>0，则 b=aqb=aq，c=aq2c=aq^2. 由 c=2ac=2a 得 q2=2q^2=2，所以 b=2ab=\sqrt2a，c=2ac=2a. 在三角形 ABCABC 中对角 BB 使用余弦定理，b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B. 代入边长关系得 2a2=a2+4a2−4a2cos⁡B2a^2=a^2+4a^2-4a^2\cos B，所以 cos⁡B=34\cos B=\frac34. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列.
(1) 推导 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和公式； (2) 设 q≠1q\neq1，证明数列 {an+1}\{a_n+1\} 不是等比数列.

2013 · 陕西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是公比不为 11 的等比数列，其前 nn 项和为 SnS_{n}，且 a5a_{5}，a3a_{3}，a4a_{4} 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的公比； (2) 证明：对任意 k∈N+k \in \mathbf{N}_+，Sk+2S_{k+2}，SkS_{k}，Sk+1S_{k+1} 成等差数列.

2012 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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14函数与初等函数★★★☆☆
植树节某班 2020 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米10\text{ 米}，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为______米\text{米}.

2011 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★☆☆
如图，从点 P1(0,0)P_{1}(0,0) 作 xx 轴的垂线交曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 于点 Q1(0,1)Q_{1}(0,1)，曲线在 Q1Q_{1} 点处的切线与 xx 轴交于点 P2P_{2}，再从 P2P_{2} 作 xx 轴的垂线交曲线于点 Q2Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P1P_{1}，Q1Q_{1}；P2P_{2}，Q2Q_{2}；⋯\cdots；PnP_{n}，QnQ_{n}，记 PkP_{k} 点的坐标为 (xk,0)(x_{k}, 0)（k=1k = 1，22，⋯\cdots，nn）.
(1) 试求 xkx_{k} 与 xk−1x_{k-1} 的关系（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n）； (2) 求 ∣P1Q1∣+∣P2Q2∣+∣P3Q3∣+⋯+∣PnQn∣\left|P_{1}Q_{1}\right|+\left|P_{2}Q_{2}\right|+\left|P_{3}Q_{3}\right|+\cdots+\left|P_{n}Q_{n}\right|.

2011 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，a1=1a_1 = 1 且 a1a_1，a3a_3，a9a_9 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项； (2) 求数列 {2an}\{2^{a_n}\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2010 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是公差不为零的等差数列，a1=1a_{1}=1 且 a1a_{1}，a3a_{3}，a9a_{9} 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项； (2) 求数列 {2an}\{2^{a_{n}}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2010 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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21数列★★★☆☆
(1) 已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_1 = 1，a2=2a_2 = 2，an+2=an+an+12a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*. 令 bn=an+1−anb_{n} = a_{n+1} - a_{n}，证明：{bn}\{b_{n}\} 是等比数列； (2) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2009 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=23a_1 = \frac{2}{3}，an+1=2anan+1a_{n + 1} = \frac{2a_n}{a_n + 1}，n=1n = 1，22，…\dots.
(1) 证明：数列 {1an−1}\left\{\frac{1}{a_{n}}-1\right\} 是等比数列； (2) 数列 {nan}\left\{\frac{n}{a_{n}}\right\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2008 · 陕西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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05数列★★★☆☆
各项均为正数的等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 若 Sn=2S_{n} = 2，S3n=14S_{3n} = 14，则 S4nS_{4n} 等于（ ）
A.
80
B.
30
C.
26
D.
16

2007 · 陕西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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20数列★★★☆☆
已知实数列 {an}\{a_n\} 是等比数列，其中 a7=1a_7 = 1，且 a4a_4，a5+1a_5 + 1，a6a_6 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和记为 SnS_n，证明：Sn<128S_n < 128（n=1n = 1，22，33，⋯\cdots）.

2007 · 陕西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
已知正项数列 {an}\{a_{n}\}，其前 nn 项和 SnS_{n} 满足 10Sn=an2+5an+610S_{n} = a_{n}^{2} + 5a_{n} + 6，且 a1a_{1}，a3a_{3}，a15a_{15} 成等比数列，求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项 ana_{n}.

2006 · 陕西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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