数迹
题目列表试卷列表
共找到 87 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
12数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 的前 nn 项和为 SnS_n，且 S6=6a6+30S_6=6a_6+30，则公差 d=‾d=\underline{\hspace{2em}}，若 Sn≤S5S_n\le S_5 恒成立，则符合条件的 a1a_1 的一个取值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

查看答案和解析
09数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\left\{ a_n \right\} 中，a1=0a_1=0，dd 为公差，SnS_n 为前 nn 项和. 至少有两项 SnS_n 介于 (0,1)\left( 0,1 \right)，则 dd 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

查看答案和解析
15数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2a4a5=a3a6a_2a_4a_5=a_3a_6，a9a10=−8a_9a_{10}=-8，则 a7=a_7=______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
14数列★★★☆☆
我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的，用来测量物体质量的“环权”. 已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 {an}\{a_n\}，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 a1=1a_1=1，a5=12a_5=12，a9=192a_9=192，则 a7=‾a_7=\underline{\hspace{2em}}；数列 {an}\{a_n\} 所有项的和为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
10数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差不为零，SnS_n 为其前 nn 项和. 若 S5=0S_5=0，则 S1S_1，S2S_2，…\ldots，S100S_{100} 这 100100 个数中所有不同数值的个数为______.

2022 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

查看答案和解析
09数列★★★☆☆
在无穷等比数列 {an}\{a_n\} 中，lim⁡n→∞(a1−an)=4\lim\limits_{n\to\infty}(a_1-a_n)=4，则 a2a_2 的取值范围为______.

2021 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

查看答案和解析
145分数列★★★☆☆
将数列 {2n−1}\{2n-1\} 与 {3n−2}\{3n-2\} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}\{a_n\}，则 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为______.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
11数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是公比为 qq 的等比数列. 已知数列 {an+bn}\{a_n+b_n\} 的前 nn 项和 Sn=n2−n+2n−1S_n=n^2-n+2^n-1（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），则 d+qd+q 的值是______.

2020 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

查看答案和解析
08数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和为 SnS_n，且满足 Sn+an=2S_n+a_n=2，则 S5=S_5=______.

2019 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

查看答案和解析
08数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）是等差数列，SnS_n 是其前 nn 项和，若 a2a5+a8=0a_2a_5+a_8=0，S9=27S_9=27，则 S8S_8 的值是______.
\begin{answer} 1616 \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

查看答案和解析
14数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sn=2an+1S_n=2a_n+1，则 S6=S_6=______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
10数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的通项公式为 an=qn−1a_n=q^{n-1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），前 nn 项和为 SnS_n. 若 lim⁡n→∞Snan+1=12\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{a_{n+1}}=\frac12，则 q=q=______.

2018 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

查看答案和解析
15数列★★★☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，a3=3a_3=3，S4=10S_4=10，则 ∑k=1n1Sk=\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac1{S_k}=______

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
09数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 的各项均为实数，其前 nn 项和为 SnS_n，已知 S3=74S_3=\dfrac74，S6=634S_6=\dfrac{63}{4}，则 a8=‾a_8=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

查看答案和解析
15数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+a3=10a_1+a_3=10，a2+a4=5a_2+a_4=5，则 a1a2⋯ana_1a_2\cdots a_n 的最大值为______.

2016 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
08数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，SnS_n 是其前 nn 项和. 若 a1+a22=−3a_1+a_2^2=-3，S5=10S_5=10，则 a9a_9 的值是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

查看答案和解析
11数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，且 an+1−an=n+1a_{n+1} - a_n = n + 1（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），则数列 {1an}\left\{\frac{1}{a_n}\right\} 前 10 项的和为______.

2015 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

查看答案和解析
14数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是递增的等比数列，a1+a4=9a_{1} + a_{4} = 9，a2a3=8a_{2}a_{3} = 8，则数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和等于______.
\begin{solution} 设首项为 a1a_1，公比为 qq. 由 a2a3=a12q3=8>0a_2a_3=a_1^2q^3=8>0 知 q>0q>0. 再由 a1(1+q3)=9a_1(1+q^3)=9 知 a1>0a_1>0，数列递增从而 q>1q>1.
令 r=q3r=q^3，则 a12r=8a_1^2r=8，a1(1+r)=9a_1(1+r)=9. 消去 a1a_1 得 81r(1+r)2=8\frac{81r}{(1+r)^2}=8，8r2−65r+8=08r^2-65r+8=0， 所以 r=8r=8 或 r=18r=\frac18. 因为 r=q3>1r=q^3>1，故 r=8r=8，从而 q=2q=2，再由 a1(1+8)=9a_1(1+8)=9 得 a1=1a_1=1.
因此前 nn 项和为
Sn=a1(qn−1)q−1=2n−1S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=2^n-1
\end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
12数列★★★☆☆
若等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a7+a8+a9>0a_{7} + a_{8} + a_{9} > 0，a7+a10<0a_{7} + a_{10} < 0，则当 n=‾n =\underline{\hspace{2em}} 时，{an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和最大.

2014 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

查看答案和解析
08数列★★★☆☆
设无穷等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，若 a1=lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)a_{1} = \displaystyle\lim_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})，则 q=q =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

查看答案和解析
10数列★★★☆☆
设无穷等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，若 a1=lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)a_{1} = \lim\limits_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})，则 q=‾q =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 按非零首项的无穷等比数列定义，尾项和存在必须有 ∣q∣<1|q|<1. 由等比数列求和公式， lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)=a1q21−q\lim\limits_{n\to\infty}(a_3+a_4+\cdots+a_n)=\dfrac{a_1q^2}{1-q}. 与题设相等并约去非零的 a1a_1，得 1=q21−q1=\dfrac{q^2}{1-q}，即 q2+q−1=0q^2+q-1=0. 解得 q=−1±52q=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}，其中只有 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2} 满足 ∣q∣<1|q|<1，故所求为 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

查看答案和解析
12数列★★★☆☆
如图，在等腰直角三角形 ABCABC 中，斜边 BC=22BC = 2\sqrt{2}，过点 AA 作 BCBC 的垂线，垂足为 A1A_1；过点 A1A_1 作 ACAC 的垂线，垂足为 A2A_2；过点 A2A_2 作 A1CA_1C 的垂线，垂足为 A3A_3；⋯\cdots，依此类推，设 BA=a1BA = a_1，AA1=a2AA_1 = a_2，A1A2=a3A_1A_2 = a_3，⋯\cdots，A5A6=a7A_5A_6 = a_7，则 a7=a_7 =______.
\begin{answer} 14\frac{1}{4} \end{answer}

2014 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 填空题

查看答案和解析
13数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=7a_{1} = 7，公差为 dd，前 nn 项和为 SnS_{n}，当且仅当 n=8n = 8 时 SnS_{n} 取最大值，则 dd 的取值范围为______.

2014 · 江西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
13数列★★★☆☆
若等比数列 {an}\{a_{n}\} 的各项均为正数，且 a10a11+a9a12=2e5a_{10}a_{11} + a_{9}a_{12} = 2\mathrm{e}^{5}，则 ln⁡a1+ln⁡a2+⋯+ln⁡a20=‾\ln a_1 + \ln a_2 + \cdots + \ln a_{20} =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
14数列★★★☆☆
已知 f(x)=x1+xf(x) = \frac{x}{1 + x}，x⩾0x \geqslant 0，若 f1(x)=f(x)f_1(x) = f(x)，fn+1(x)=f(fn(x))f_{n+1}(x) = f(f_n(x))，n∈N+n \in \mathbf{N}_+，则 f2014(x)f_{2014}(x) 的表达式为______. \begin{answer} x2014x+1\frac{x}{2014x+1} \end{answer} \begin{solution} 先证明 fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx}. 由于 x⩾0x\geqslant0 且 n∈N+n\in\mathbf N_+，有 1+nx>01+nx>0，所以各步分式均有意义. 当 n=1n=1 时，f1(x)=f(x)=x1+xf_1(x)=f(x)=\frac{x}{1+x}，结论成立. 若 fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx}，则
fn+1(x)=f(x1+nx)=x1+nx1+x1+nx=x1+(n+1)xf_{n+1}(x)=f\left(\frac{x}{1+nx}\right) =\frac{\frac{x}{1+nx}}{1+\frac{x}{1+nx}} =\frac{x}{1+(n+1)x}
由数学归纳法，fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx} 对一切 n∈N+n\in\mathbf N_+ 成立. 因此
f2014(x)=x1+2014x=x2014x+1f_{2014}(x)=\frac{x}{1+2014x}=\frac{x}{2014x+1}
\end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析