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共找到 107 题
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075分数列★★★☆☆
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深邃的历史文化闻名遐迩. 该塔群共有 108108 座塔，依山势自上而下排成 1212 行，将第 ii 行中塔的座数记为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1212），其中 a1=1a_1=1，a2=a3=3a_2=a_3=3，a4=a5=5a_4=a_5=5，且 a6a_6，a7a_7，⋯\cdots，a12a_{12} 是一个首项为 77，公差为 22 的等差数列. 将 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a12a_{12} 分为 66 组，每组 22 个数，使得每组的 22 个数之和可构成一个项数为 66 且公差为 dd（d>0d>0）的等差数列，则 d=d=（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2026 · 全国 · 一卷 · 第 7 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
{an}\left\{ a_n \right\}，{bn}\left\{ b_n \right\} 是无穷数列，则“存在常数 MM，使 an≤M≤bna_n\le M\le b_n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots）”是“an≤bna_n\le b_n（n=1n=1，22，33，⋯\cdots）”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2026 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
已知 S2n−Sn=nS_{2n}-S_n=n，a3=6a_3=6，则 a7+a8=a_7+a_8=（ ）
A.
6868
B.
5656
C.
−3-3
D.
−4-4

2026 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 Sn=−n2+8nS_n=-n^2+8n，则数列 {∣an∣}\{|a_n|\} 的前 12 项和为（ ）
A.
112
B.
48
C.
80
D.
64

2025 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
已知 bb 是 aa，cc 的等差中项，直线 ax+by+c=0ax+by+c=0 与圆 x2+y2+4y−1=0x^2+y^2+4y-1=0 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣\left| AB \right| 的最小值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
252\sqrt{5}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 设甲：{an}\{a_n\} 为等差数列，乙：{Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 S4=−5S_4=-5，S6=21S2S_6=21S_2，则 S8=S_8=（ ）
A.
120
B.
85
C.
−85-85
D.
−120-120

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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10数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 2π3\frac{2\pi}{3}，集合 S={cos⁡an∣n∈N∗}={a,b}S=\{\cos a_n\mid n\in\mathbf{N}^*\}=\{a,b\}，则 ab=ab=（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac12
C.
00
D.
12\frac12

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等比数列，SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，an+1=2Sn+2a_{n+1}=2S_n+2，则 a4=a_4=（ ）
A.
3
B.
18
C.
54
D.
152

2023 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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16数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，前 nn 项积为 TnT_n，则下列选项判断正确的是（ ）
A.
若 S2022>S2021S_{2022}>S_{2021}，则数列 {an}\{a_n\} 是递增数列
B.
若 T2022>T2021T_{2022}>T_{2021}，则数列 {an}\{a_n\} 是递增数列
C.
若数列 {Sn}\{S_n\} 是递增数列，则 a2022≥a2021a_{2022}\ge a_{2021}
D.
若数列 {Tn}\{T_n\} 是递增数列，则 a2022≥a2021a_{2022}\ge a_{2021}

2022 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_n，设甲：q>0q>0，乙：{Sn}\{S_n\} 是递增数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为整数的递增数列，且 a1≥3a_1\ge3. 若 a1+a2+a3+⋯+an=100a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=100，则 nn 的最大值为（ ）
A.
9
B.
10
C.
11
D.
12

2021 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，函数 f(x)=ax2+bf(x)=ax^{2}+b（x∈Rx\in\mathbf{R}）. 若 f(s−t)f(s-t)，f(s)f(s)，f(s+t)f(s+t) 成等比数列，则平面上点 (s,t)(s,t) 的轨迹是（ ）
A.
直线和圆
B.
直线和椭圆
C.
直线和双曲线
D.
直线和抛物线

2021 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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04数列★★★☆☆
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层. 上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 99 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 99 块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多 99 块，向外每环依次也增加 99 块. 已知每层环数相同，且下层比中层多 729729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A.
36993699 块
B.
34743474 块
C.
34023402 块
D.
33393339 块

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_n\} 中，a1=2a_1=2，am+n=amana_{m+n}=a_m a_n. 若 ak+1+ak+2+⋯+ak+10=215−25a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^5，则 k=k=（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，公差 d≠0d\neq0，且 a1d≤1\dfrac{a_1}{d}\le1. 记 b1=S2b_1=S_2，bn+1=S2n+2−S2nb_{n+1}=S_{2n+2}-S_{2n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），下列等式不可能成立的是（ ）
A.
2a4=a2+a62a_4=a_2+a_6
B.
2b4=b2+b62b_4=b_2+b_6
C.
a42=a2a8a_4^2=a_2a_8
D.
b42=b2b8b_4^2=b_2b_8

2020 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
设 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，“{an}\{a_n\} 是递增数列”是“{Sn}\{S_n\} 是递增数列”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2018 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为实常数，数列 {xn}\{x_n\} 的通项 xn=an2+bn+cx_n=an^2+bn+c，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则“存在 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*，使得 x100+kx_{100+k}，x200+kx_{200+k}，x300+kx_{300+k} 成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A.
a≥0a\ge0
B.
b≤0b\le0
C.
c=0c=0
D.
a−2b+c=0a-2b+c=0

2017 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为正数的等比数列，公比为 qq，则“q<0q<0”是“对任意的正整数 nn，a2n−1+a2n<0a_{2n-1}+a_{2n}<0”的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
已知无穷等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_n，且 lim⁡n→∞Sn=S\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S，下列条件中，使得 2Sn<S2S_n<S（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）恒成立的是（ ）
A.
a1>0, 0.6<q<0.7a_1>0,\ 0.6<q<0.7
B.
a1<0a_1<0， −0.7<q<−0.6\ -0.7<q<-0.6
C.
a1>0a_1>0， 0.7<q<0.8\ 0.7<q<0.8
D.
a1<0a_1<0， −0.8<q<−0.7\ -0.8<q<-0.7

2016 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
如图，点列 {An}\{A_n\}，{Bn}\{B_n\} 分别在某锐角的两边上，且 ∣AnAn+1∣=∣An+1An+2∣|A_nA_{n+1}|=|A_{n+1}A_{n+2}|，An≠An+1A_n\ne A_{n+1}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，∣BnBn+1∣=∣Bn+1Bn+2∣|B_nB_{n+1}|=|B_{n+1}B_{n+2}|，Bn≠Bn+1B_n\ne B_{n+1}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*（P≠QP\ne Q 表示点 PP 与点 QQ 不重合）. 若 dn=∣AnBn∣d_n=|A_nB_n|，SnS_n 为 △AnBnBn+1\triangle A_nB_nB_{n+1} 的面积，则（ ）
A.
{Sn}\{S_n\} 是等差数列
B.
{Sn2}\{S_n^2\} 是等差数列
C.
{dn}\{d_n\} 是等差数列
D.
{dn2}\{d_n^2\} 是等差数列

2016 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设等差数列的公差为 dd，则 a2=a1+da_2=a_1+d、a3=a1+2da_3=a_1+2d.
选项 A 不成立，例如取 a1=1a_1=1、d=−32d=-\frac{3}{2}，则 a1+a2=12>0a_1+a_2=\frac{1}{2}>0，但 a2+a3=−52<0a_2+a_3=-\frac{5}{2}<0. 选项 B 不成立，例如取 a1=1a_1=1、d=−65d=-\frac{6}{5}，则 a1+a3=−25<0a_1+a_3=-\frac{2}{5}<0，但 a1+a2=45>0a_1+a_2=\frac{4}{5}>0.
若 0<a1<a20<a_1<a_2，则 d>0d>0，且
a22−a1a3=(a1+d)2−a1(a1+2d)=d2>0a_2^2-a_1a_3=(a_1+d)^2-a_1(a_1+2d)=d^2>0
由于 a1a3>0a_1a_3>0，故 a2>a1a3a_2>\sqrt{a_1a_3}，选项 C 正确. 对于选项 D，有 (a2−a1)(a2−a3)=d(−d)=−d2⩽0(a_2-a_1)(a_2-a_3)=d(-d)=-d^2\leqslant0，不可能大于零，故选 C. \end{solution}
A.
若 a1+a2>0a_{1} + a_{2} > 0，则 a2+a3>0a_{2} + a_{3} > 0
B.
若 a1+a3<0a_{1} + a_{3} < 0，则 a1+a2<0a_{1} + a_{2} < 0
C.
若 0<a1<a20 < a_{1} < a_{2}，则 a2>a1a3a_{2} > \sqrt{a_{1}a_{3}}
D.
若 a1<0a_{1} < 0，则 (a2−a1)(a2−a3)>0(a_{2} - a_{1})(a_{2} - a_{3}) > 0

2015 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
记方程①： x2+a1x+1=0x^{2} + a_{1}x + 1 = 0，方程②： x2+a2x+2=0x^{2} + a_{2}x + 2 = 0，方程③： x2+a3x+4=0x^{2} + a_{3}x + 4 = 0，其中 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 是正实数. 当 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A.
方程①有实根，且②有实根
B.
方程①有实根，且②无实根
C.
方程①无实根，且②有实根
D.
方程①无实根，且②无实根

2015 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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21数列★★★☆☆
若无穷等差数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1>0a_{1} > 0，公差 d<0d < 0， {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 因为 an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d，且 d<0d<0，所以 ana_n 随 nn 严格递减，并且 an→−∞a_n\to-\infty. 又 Sn+1−Sn=an+1S_{n+1}-S_n=a_{n+1}，而 an+1a_{n+1} 随 nn 严格递减且最终为负，所以 SnS_n 的增减趋势至多从增大变为减小；若某项 an+1=0a_{n+1}=0，则相邻两项 SnS_n 和 Sn+1S_{n+1} 相等. 因此 SnS_n 必有最大值. 又
Sn=n2(2a1+(n−1)d)→−∞S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)\to-\infty
所以没有最小值. 故选 C. \end{solution}
A.
SnS_{n} 单调递减
B.
SnS_{n} 单调递增
C.
SnS_{n} 有最大值
D.
SnS_{n} 有最小值

2015 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 选择题

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32数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+an+4=an+1+an+3a_{n} + a_{n+4} = a_{n+1} + a_{n+3}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），那么（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 令 dn=an+1−and_n=a_{n+1}-a_n. 由已知等式，得 an+4−an+3=an+1−ana_{n+4}-a_{n+3}=a_{n+1}-a_n，即 dn+3=dnd_{n+3}=d_n. 因而差数列以 3 为周期. 对数列 {a3n}\{a_{3n}\}，有
a3(n+1)−a3n=d3n+d3n+1+d3n+2=d3+d1+d2a_{3(n+1)}-a_{3n}=d_{3n}+d_{3n+1}+d_{3n+2}=d_3+d_1+d_2
右端与 nn 无关，所以 {a3n}\{a_{3n}\} 是等差数列. 为说明其余三个选项不一定成立，取 d1=1d_1=1、d2=2d_2=2、d3=0d_3=0，令 a1=0a_1=0，并按 dn+3=dnd_{n+3}=d_n 定义后续各项. 此时 {an}\{a_n\} 的相邻差不恒定，{a2n−1}\{a_{2n-1}\} 的相邻差依次为 33，11，22，…\ldots，{a2n}\{a_{2n}\} 的相邻差依次为 22，33，11，…\ldots，故这三个数列均不一定是等差数列. 因此选 D. \end{solution}
A.
{an}\left\{a_{n}\right\} 是等差数列
B.
{a2n−1}\left\{a_{2n-1}\right\} 是等差数列
C.
{a2n}\left\{a_{2n}\right\} 是等差数列
D.
{a3n}\left\{a_{3n}\right\} 是等差数列

2015 · 上海 · 春季 · 第 32 题 · 选择题

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