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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 4Sn=3an+44S_n=3a_n+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n=\left( -1 \right)^{n-1}na_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 2Sn=3an+1−32S_n=3a_{n+1}-3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★★☆☆
若 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x（a>0a>0，a≠1a\ne 1）.
(1) y=f(x)y=f(x) 过 (4,2)(4,2)，求 f(2x−2)<f(x)f(2x-2)<f(x) 的解集； (2) 存在 xx 使得 f(x+1)f(x+1)，f(ax)f(ax)，f(x+2)f(x+2) 成等差数列，求 aa 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a2=1a_2=1，2Sn=nan2S_n=na_n.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {an+12n}\left\{ \frac{a_{n+1}}{2^n} \right\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a2=11a_2=11，S10=40S_{10}=40.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {∣an∣}\{|a_n|\} 的前 nn 项和 TnT_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等差数列 {an}\{a_n\} 的首项为 a1a_1，公差为 dd，则 a2=a1+d=11a_2=a_1+d=11. 又因为 S10=102(2a1+9d)=40S_{10}=\dfrac{10}{2}(2a_1+9d)=40，所以 2a1+9d=82a_1+9d=8. 联立得 a1=13a_1=13，d=−2d=-2，从而 an=a1+(n−1)d=13−2(n−1)=15−2na_n=a_1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n. \item 当 1≤n≤71\le n\le7 时，an=15−2n>0a_n=15-2n>0，所以 Tn=∑k=1n(15−2k)=n(14−n)T_n=\sum_{k=1}^n(15-2k)=n(14-n).
当 n≥8n\ge8 时，a1a_1，…\ldots，a7a_7 为正数，且 ak<0a_k<0（k≥8k\ge8），因此 Tn=∑k=17(15−2k)+∑k=8n(2k−15)=49+(n−7)2T_n=\sum_{k=1}^7(15-2k)+\sum_{k=8}^n(2k-15)=49+(n-7)^2. 综上，
Tn={n(14−n),1≤n≤7,49+(n−7)2,n≥8.T_n=\begin{cases} n(14-n),&1\le n\le7,\\ 49+(n-7)^2,&n\ge8. \end{cases}
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=1a_1=1，数列 {Snan}\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\} 是公差为 13\frac13 的等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：1a1+1a2+⋯+1an<2\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}<2.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 是公比为 2 的等比数列，且 a2−b2=a3−b3=b4−a4a_2-b_2=a_3-b_3=b_4-a_4.
(1) 证明：a1=b1a_1=b_1； (2) 求集合 {k∣bk=am+a1, 1≤m≤500}\{k\mid b_k=a_m+a_1,\ 1\le m\le 500\} 中元素个数.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 2Snn+n=2an+1\frac{2S_n}{n}+n=2a_n+1.
(1) 证明：{an}\{a_n\} 是等差数列； (2) 若 a4a_4，a7a_7，a9a_9 成等比数列，求 SnS_n 的最小值.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 2Snn+n=2an+1\dfrac{2S_n}{n}+n=2a_n+1.
(1) 证明：{an}\{a_n\} 是等差数列； (2) 若 a4a_4，a7a_7，a9a_9 成等比数列，求 SnS_n 的最小值.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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1715分数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，且
an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数},\\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}
(1) 记 bn=a2nb_n=a_{2n}，写出 b1b_1，b2b_2，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_n\} 的前 2020 项和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正数，记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，从下面三个条件中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① 数列 {an}\{a_n\} 是等差数列； ② 数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是等差数列； ③ a2=3a1a_2=3a_1.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 an>0a_n>0，a2=3a1a_2=3a_1，且数列 {Sn}\{\sqrt{S_n}\} 是等差数列，证明：{an}\{a_n\} 是等差数列.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知一企业今年第一季度的营业额为 1.11.1 亿元，往后每个季度增加 0.050.05 亿元，第一季度的利润为 0.160.16 亿元，往后每一季度比前一季度增长 4%4\%.
(1) 求今年起的前 2020 个季度的总营业额； (2) 请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 18%18\%？

2021 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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1817分数列★★★☆☆
已知公比大于 1 的等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2+a4=20a_2+a_4=20，a3=8a_3=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 bmb_m 为 {an}\{a_n\} 在区间 (0,m](0,m]（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*）中的项的个数，求数列 {bm}\{b_m\} 的前 100 项和 S100S_{100}.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分数列★★★☆☆
已知公比大于 11 的等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2+a4=20a_2+a_4=20，a3=8a_3=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 a1a2−a2a3+⋯+(−1)n−1anan+1a_1a_2-a_2a_3+\cdots+(-1)^{n-1}a_na_{n+1}.

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比不为 11 的等比数列，a1a_1 为 a2a_2，a3a_3 的等差中项.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的公比； (2) 若 a1=1a_1=1，求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1=3，an+1=3an−4na_{n+1}=3a_n-4n.
(1) 计算 a2a_2，a3a_3，猜想 {an}\{a_n\} 的通项公式并加以证明； (2) 求数列 {2nan}\{2^na_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+a2=4a_1+a_2=4，a3−a1=8a_3-a_1=8.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 为数列 {log⁡3an}\{\log_3 a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sm+Sm+1=Sm+3S_m+S_{m+1}=S_{m+3}，求 mm.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知各项均为正数的数列 {an}\{a_n\}，其前 nn 项和为 SnS_n，a1=1a_1=1.
(1) 若数列 {an}\{a_n\} 为等差数列，S10=70S_{10}=70，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 为等比数列，a4=18a_4=\dfrac{1}{8}，求满足 Sn>100anS_n>100a_n 时 nn 的最小值.

2020 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=−a5S_9=-a_5.
(1) 若 a3=4a_3=4，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 a1>0a_1>0，求使得 Sn≥anS_n\ge a_n 的 nn 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足 a1=1a_1=1，b1=0b_1=0，4an+1=3an−bn+44a_{n+1}=3a_n-b_n+4，4bn+1=3bn−an−44b_{n+1}=3b_n-a_n-4.
(1) 证明：{an+bn}\{a_n+b_n\} 是等比数列，{an−bn}\{a_n-b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，a1=2a_1=2，a3=2a2+16a_3=2a_2+16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，a1=−10a_1=-10，且 a2+10a_2+10，a3+8a_3+8，a4+6a_4+6 成等比数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求 SnS_n 的最小值.

2019 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列，公比大于 00. 已知 a1=b1=3a_1=b_1=3，b2=a3b_2=a_3，b3=4a2+3b_3=4a_2+3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {cn}\{c_n\} 满足：当 nn 为奇数时，cn=1c_n=1；当 nn 为偶数时，cn=bn2c_n=b_{\frac{n}{2}}. 求 a1c1+a2c2+⋯+a2nc2na_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2019 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\}，a1=3a_1=3，前 nn 项和为 SnS_n.
(1) 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，且 a4=15a_4=15，求 SnS_n； (2) 若 {an}\{a_n\} 为等比数列，且 lim⁡n→∞Sn<12\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n<12，求公比 qq 的取值范围.

2019 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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