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15平面向量★★★☆☆
已知空间直角坐标系 OxyzOxyz 中的点集 Ω\Omega，对任意的 P1P_1，P2P_2，P3∈ΩP_3\in \Omega，均存在不全为 00 的实数 λ1\lambda_1，λ2\lambda_2，λ3\lambda_3，使得 λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}=\boldsymbol{0}. 若 (1,0,0)∈Ω(1,0,0)\in \Omega，则 (0,0,1)∉Ω(0,0,1)\notin \Omega 的一个充分条件是（ ）
A.
(0,0,0)∈Ω(0,0,0)\in \Omega
B.
(−1,0,0)∈Ω(-1,0,0)\in \Omega
C.
(0,−1,0)∈Ω(0,-1,0)\in \Omega
D.
(0,0,−1)∈Ω(0,0,-1)\in \Omega

2024 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 pp：存在 a∈Ra\in\mathbf{R} 且 a≠0a\neq0，对于任意的 x∈Rx\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)<f(x)+f(a)f(x+a)<f(x)+f(a)；
命题 q1q_1：f(x)f(x) 单调递减且 f(x)>0f(x)>0 恒成立；
命题 q2q_2：f(x)f(x) 单调递增，存在 x0<0x_0<0 使得 f(x0)=0f(x_0)=0，
则下列说法正确的是（ ）
A.
只有 q1q_1 是 pp 的充分条件
B.
只有 q2q_2 是 pp 的充分条件
C.
q1q_1，q2q_2 都是 pp 的充分条件
D.
q1q_1，q2q_2 都不是 pp 的充分条件

2020 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为实常数，数列 {xn}\{x_n\} 的通项 xn=an2+bn+cx_n=an^2+bn+c，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则“存在 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*，使得 x100+kx_{100+k}，x200+kx_{200+k}，x300+kx_{300+k} 成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A.
a≥0a\ge0
B.
b≤0b\le0
C.
c=0c=0
D.
a−2b+c=0a-2b+c=0

2017 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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11复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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16复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由于 a≠ba\ne b，集合相等时不可能同时有 a=a2a=a^2 和 b=b2b=b^2，否则由 ab≠0ab\ne0 得 a=b=1a=b=1. 因而只能有 a=b2a=b^2、b=a2b=a^2. 代入得 a=a4a=a^4，而 a≠0a\ne0，所以 a3=1a^3=1. 若 a=1a=1，则 b=a2=1b=a^2=1，与互异矛盾；故 aa 是非实的三次单位根，且 b=a2b=a^2. 由 1+a+a2=01+a+a^2=0，得 a+b=a+a2=−1a+b=a+a^2=-1，选 D. \end{solution}
A.
22
B.
11
C.
00
D.
−1-1

2014 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，集合 A={x∣(x−1)(x−a)⩾0}A=\{x\mid(x-1)(x-a)\geqslant 0\}，B={x∣x⩾a−1}B=\{x\mid x\geqslant a-1\}. 若 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 当 a⩽1a\leqslant1 时，
A=(−∞,a]∪[1,+∞)A=(-\infty,a]\cup[1,+\infty)
而 B=[a−1,+∞)B=[a-1,+\infty). 因为 a−1<aa-1<a，三段合起来覆盖整个实数轴.
当 a>1a>1 时，
A=(−∞,1]∪[a,+∞)A=(-\infty,1]\cup[a,+\infty)
要使 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}，必须使 BB 的左端点满足 a−1⩽1a-1\leqslant1，即 a⩽2a\leqslant2；反之 1<a⩽21<a\leqslant2 时确实有 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}. 综上 a⩽2a\leqslant2，故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,2)(-\infty,2)
B.
(−∞,2](-\infty,2]
C.
(2,+∞)(2,+\infty)
D.
[2,+∞)[2,+\infty)

2013 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，集合 A={x∣(x−1)(x−a)⩾0}A = \{x \mid \left(x - 1\right)\left(x - a\right) \geqslant 0\}，B={x∣x⩾a−1}B = \{x \mid x \geqslant a - 1\}. 若 A∪B=RA \cup B = \mathbf{R}，则 aa 的取值范围为（\quad）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 a⩽1a\leqslant1，则
A=(−∞,a]∪[1,+∞),B=[a−1,+∞)A=(-\infty,a]\cup[1,+\infty),\qquad B=[a-1,+\infty)
由于 a−1⩽aa-1\leqslant a，此时 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}.
若 a>1a>1，则
A=(−∞,1]∪[a,+∞),B=[a−1,+∞)A=(-\infty,1]\cup[a,+\infty),\qquad B=[a-1,+\infty)
要覆盖区间 (1,a)(1,a)，必须且只需 a−1⩽1a-1\leqslant1，即 a⩽2a\leqslant2. 综合两种情形，a⩽2a\leqslant2，故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,2)\left(-\infty, 2\right)
B.
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
C.
(2,+∞)\left(2, +\infty\right)
D.
[2,+∞)\left[2, +\infty\right)

2013 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在正整数集上的函数，且 f(x)f(x) 满足：“当 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立时，总可推出 f(k+1)⩾(k+1)2f(k + 1) \geqslant (k + 1)^2 成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）
A.
若 f(3)⩾9f(3) \geqslant 9 成立，则当 k⩾1k \geqslant 1 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立
B.
若 f(5)⩾25f(5) \geqslant 25 成立，则当 k⩽5k \leqslant 5 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立
C.
若 f(7)<49f(7) < 49 成立，则当 k⩾8k \geqslant 8 时，均有 f(k)<k2f(k) < k^2 成立
D.
若 f(4)=25f(4) = 25 成立，则当 k⩾4k \geqslant 4 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立

2007 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在正整数集上的函数，且 f(x)f(x) 满足：“当 f(k)≥k2f(k) \geq k^2 成立时，总可推出 f(k+1)≥(k+1)2f(k+1) \geq (k+1)^2 成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）
A.
若 f(1)<1f(1) < 1 成立，则 f(10)<100f(10) < 100 成立
B.
若 f(2)<4f(2) < 4 成立，则 f(1)⩾1f(1) \geqslant 1 成立
C.
若 f(3)⩾9f(3) \geqslant 9 成立，则当 k⩾1k \geqslant 1 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立
D.
若 f(4)⩾25f(4) \geqslant 25 成立，则当 k⩾4k \geqslant 4 时，均有 f(k)⩾k2f(k) \geqslant k^2 成立

2007 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
若关于 xx 的不等式 (1+k2)x⩽k4+4(1 + k^2)x \leqslant k^4 + 4 的解集是 MM，则对任意实数 kk，总有（ ）
A.
2∈M2 \in M，0∈M0 \in M
B.
22 不属于 MM，00 不属于 MM
C.
2∈M2 \in M，00 不属于 MM
D.
22 不属于 MM，0∈M0 \in M

2006 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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19函数与初等函数★★★☆☆
记函数 f(x)=2−x+3x+1f(x) = \sqrt{2 - \frac{x + 3}{x + 1}} 的定义域为 AA，g(x)=lg⁡[(x−a−1)(2a−x)]g(x) = \lg [(x - a - 1)(2a - x)]（a<1a < 1）的定义域为 BB.
(1) 求 AA. (2) 若 B⊆AB \subseteq A，求实数 aa 的取值范围.

2004 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下：
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（\quad）
A.
计算机行业好于化工行业
B.
建筑行业好于物流行业
C.
机械行业最紧张
D.
营销行业比贸易行业紧张

2004 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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