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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 设甲：{an}\{a_n\} 为等差数列，乙：{Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+bxf(x)=x^2+bx，则“b<0b<0”是“f(f(x))f(f(x)) 的最小值与 f(x)f(x) 的最小值相等”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 浙江 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★★☆☆
设 AA，BB 是有限集，定义： d(A,B)=card⁡(A∪B)−card⁡(A∩B)d(A, B) = \operatorname{card}(A \cup B) - \operatorname{card}(A \cap B)，其中 card⁡(A)\operatorname{card}(A) 表示有限集 AA 中元素的个数.
① 对任意有限集 AA，BB，“A≠BA \neq B”是“d(A,B)>0d(A, B) > 0”的充分必要条件； ② 对任意有限集 AA，BB，CC，d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)d(A, C) \le d(A, B) + d(B, C).
（ ）
A.
命题①和命题②都成立
B.
命题①和命题②都不成立
C.
命题①成立，命题②不成立
D.
命题①不成立，命题②成立

2015 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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10不等式★★★☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，定义运算“∧\wedge”和“∨\vee”如下：
a∧b={a,a⩽b,b,a>b,a \wedge b = \begin{cases} a, & a \leqslant b,\\ b, & a > b, \end{cases}
a∨b={b,a⩽b,a,a>b.a \vee b = \begin{cases} b, & a \leqslant b,\\ a, & a > b. \end{cases}
若正数 aa，bb，cc，dd 满足 ab⩾4ab \geqslant 4，c+d⩽4c + d \leqslant 4，则（ ）
A.
a∧b⩾2a \wedge b \geqslant 2，c∧d⩽2c \wedge d \leqslant 2
B.
a∧b⩾2a \wedge b \geqslant 2，c∨d⩾2c \vee d \geqslant 2
C.
a∨b⩾2a \vee b \geqslant 2，c∧d⩽2c \wedge d \leqslant 2
D.
a∨b⩾2a \vee b \geqslant 2，c∨d⩾2c \vee d \geqslant 2

2013 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
若 aa，bb 为实数，则 0<ab<10 < ab < 1 是“a<1ba < \frac{1}{b} 或 b>1ab > \frac{1}{a}”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2011 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★★☆☆
设 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，则“xsin⁡2x<1x \sin^2 x < 1”是“xsin⁡x<1x \sin x < 1”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}，所以 0<sin⁡x<10<\sin x<1，从而
xsin⁡2x<xsin⁡xx\sin^2x<x\sin x
若 xsin⁡x<1x\sin x<1，则必有 xsin⁡2x<1x\sin^2x<1，所以“xsin⁡x<1x\sin x<1”是“xsin⁡2x<1x\sin^2x<1”的充分条件，即前一个条件是后一个条件的必要条件.
再设 x0x_0 是方程 xsin⁡x=1x\sin x=1 在 (0,π2)(0,\frac\pi2) 内的根. 由于 xsin⁡xx\sin x 连续，且在 x=1x=1 时小于 11，在 x=π2x=\frac\pi2 时大于 11，这样的 x0x_0 存在. 此时
x0sin⁡2x0=sin⁡x0<1x_0\sin^2x_0=\sin x_0<1
但 x0sin⁡x0<1x_0\sin x_0<1 不成立. 因此“xsin⁡2x<1x\sin^2x<1”不是“xsin⁡x<1x\sin x<1”的充分条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 浙江 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★★☆☆
设 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，则“xsin⁡2x<1x \sin^2 x < 1”是“xsin⁡x<1x \sin x < 1”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 记命题甲为“xsin⁡2x<1x\sin^2x<1”，记命题乙为“xsin⁡x<1x\sin x<1”. 由于 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}，有 0<sin⁡x<10<\sin x<1，故
xsin⁡2x<xsin⁡xx\sin^2x<x\sin x
所以命题乙成立时必有命题甲成立，即命题甲是命题乙的必要条件.
下面说明命题甲不是命题乙的充分条件. 函数 g(x)=xsin⁡xg(x)=x\sin x 在 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上严格递增，因为 g′(x)=sin⁡x+xcos⁡x>0g'(x)=\sin x+x\cos x>0. 又 g(1)=sin⁡1<1g(1)=\sin1<1，而 g(π2)=π2>1g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}>1，所以存在唯一的 x0∈(1,π2)x_0\in\left(1,\frac{\pi}{2}\right) 使 g(x0)=1g(x_0)=1. 此时 x0sin⁡2x0=sin⁡x0<1x_0\sin^2x_0=\sin x_0<1. 由连续性，取 x>x0x>x_0 且足够接近 x0x_0，仍有 xsin⁡2x<1x\sin^2x<1，但因 gg 严格递增而有 xsin⁡x>1x\sin x>1. 因此命题甲不充分.
所以“xsin⁡2x<1x\sin^2x<1”是“xsin⁡x<1x\sin x<1”的必要而不充分条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 浙江 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=x2+axf(x) = x^2 + \frac{a}{x}（a∈Ra \in \mathbf{R}），则下列结论正确的是（ ）
A.
∀a∈R,f(x)\forall a\in \mathbf{R},f(x) 在 (0,+∞)(0, + \infty) 上是增函数
B.
∀a∈R\forall a\in \mathbf{R}，f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, + \infty) 上是减函数
C.
∃a∈R\exists a\in \mathbf{R}，f(x)f(x) 是偶函数
D.
∃a∈R\exists a\in \mathbf{R}，f(x)f(x) 是奇函数

2009 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 A={(x,y)∣x,y,1−x−y 是三角形的三边长}A=\{(x,y)\mid x,y,1-x-y\text{ 是三角形的三边长}\}，则 AA 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（\quad）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 令三边长分别为 xx，yy，1−x−y1-x-y. 它们能构成三角形的充要条件是三者均为正数，且每一边都小于另外两边之和. 因此 x>0x>0，y>0y>0，1−x−y>01-x-y>0，x<1−xx<1-x，y<1−yy<1-y，1−x−y<x+y1-x-y<x+y. 化简得 0<x<120<x<\frac{1}{2}，0<y<120<y<\frac{1}{2}，12<x+y<1\frac{1}{2}<x+y<1. 其中 x<12x<\frac{1}{2} 和 y<12y<\frac{1}{2} 已推出 x+y<1x+y<1，所以区域是正方形 0<x<120<x<\frac{1}{2}，0<y<120<y<\frac{1}{2} 中直线 x+y=12x+y=\frac{1}{2} 上方且不含边界的部分，对应图 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2005 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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