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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 设甲：{an}\{a_n\} 为等差数列，乙：{Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
若规定 E={a1,a2,…,a10}E = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}\} 的子集 {ai1,ai2,…,ain}\{a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{n}}\} 为 EE 的第 kk 个子集，其中 k=2i1−1+2i2−1+2i3−1+⋯+2in−1k = 2^{i_{1} - 1} + 2^{i_{2} - 1} + 2^{i_{3} - 1} + \dots + 2^{i_{n} - 1}，则
(1) {a1,a3}\{a_1, a_3\} 是 EE 的第______ 个子集； (2) EE 的第211个子集是______.

2010 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 M={1,2,3,4,5,6}M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，S1S_1，S2S_2，⋯\cdots，SkS_k 都是 MM 的含两个元素的子集，且满足：
对任意的 Si={ai,bi}S_i = \{a_i, b_i\}，Sj={aj,bj}S_j = \{a_j, b_j\}（i≠ji \neq j，ii，j∈{1,2,3,⋯ ,k}j \in \{1, 2, 3, \cdots, k\}），都有 min⁡{aibi,biai}≠min⁡{ajbj,bjaj}\min \left\{\frac{a_i}{b_i}, \frac{b_i}{a_i}\right\} \neq \min \left\{\frac{a_j}{b_j}, \frac{b_j}{a_j}\right\}.
（min⁡{x,y}\min \{x, y\} 表示两个数 xx，yy 中的较小者）. 则 kk 的最大值是（ ）
A.
10
B.
11
C.
12
D.
13

2007 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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14集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 A={(x,y)∣y⩾∣x−2∣,x⩾0}A = \{(x, y) \mid y \geqslant |x - 2|, x \geqslant 0\}，B={(x,y)∣y⩽−x+b}B = \{(x, y) \mid y \leqslant -x + b\}，A∩B≠∅A \cap B \neq \emptyset.
(1) bb 的取值范围是______； (2) 若 (x,y)∈A∩B(x, y) \in A \cap B，且 x+2yx + 2y 的最大值为 9，则 bb 的值是______.

2007 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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08不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=x−ax−1f(x) = \frac{x - a}{x - 1}，集合 M={x∣f(x)<0}M = \{x \mid f(x) < 0\}，P={x∣f′(x)>0}P = \{x \mid f'(x) > 0\}，若 M⫋PM \subsetneqq P，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,1)(- \infty, 1)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(1,+∞)(1, +\infty)
D.
[1,+∞)[1, +\infty)

2006 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
集合 A={x∣x−1x+1<0}A = \left\{x \mid \frac{x - 1}{x + 1} < 0\right\}，B={x∣∣x−b∣<a}B = \{x \mid |x - b| < a\}，若“a=1a = 1”是“A∩B≠∅A \cap B \neq \varnothing”的充分条件，则 bb 的取值范围是（ ）
\begin{answer} 题面无正确选项；按题意 −2<b<2-2<b<2 \end{answer}
\begin{solution} 由 x−1x+1<0\frac{x-1}{x+1}<0 得 −1<x<1-1<x<1，即 A=(−1,1)A=(-1,1). 当 a=1a=1 时，B=(b−1,b+1)B=(b-1,b+1). 两个开区间有公共元素的充要条件是
b−1<1且−1<b+1b-1<1\quad\text{且}\quad -1<b+1
即 −2<b<2-2<b<2. 因此按题意，bb 的准确取值范围为 (−2,2)(-2,2)，但该范围不在所列四个选项中；选项 D 只给出了其中的子集，不能作为完整答案. \end{solution}
A.
−2⩽b<0-2 \leqslant b < 0
B.
0<b⩽20 < b \leqslant 2
C.
−3<b<−1-3 < b < -1
D.
−1⩽b<2-1 \leqslant b < 2

2005 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 A={x∣x−1x+1<0}A = \left\{x \mid \frac{x - 1}{x + 1} < 0\right\}，B={x∣∣x−1∣<a}B = \{x \mid |x - 1| < a\}，则“a=1a = 1”是“A∩B≠∅A \cap B \neq \varnothing”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分又不必要条件

2005 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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