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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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075分数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 设甲：{an}\{a_n\} 为等差数列，乙：{Snn}\left\{\frac{S_n}{n}\right\} 为等差数列，则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
直线 l:y=kx+1l: y = kx + 1 与圆 O:x2+y2=1O: x^2 + y^2 = 1 相交于 AA，BB 两点，则“k=1k = 1”是“△OAB\triangle OAB 的面积为 12\frac{1}{2}”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要条件

2014 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
已知集合 {a,b,c}={0,1,2}\{a, b, c\} = \{0, 1, 2\}，且下列三个关系：
① a≠2a \neq 2； ② b=2b = 2； ③ c≠0c \neq 0
有且只有一个正确，则 100a+10b+c=100a + 10b + c =______.
\begin{answer} 201 \end{answer}
\begin{solution} 因为 {a,b,c}={0,1,2}\{a,b,c\}=\{0,1,2\}，所以 aa，bb，cc 是 00，11，22 的一个排列. 若 b=2b=2，则 aa，cc 为 0,10,1，此时 a≠2a\neq2 与 b=2b=2 同时正确，不符合题意. 因此 b≠2b\neq2. 若再有 a≠2a\neq2，则 aa，bb 为 0,10,1，从而 c=2c=2，这时 a≠2a\neq2 与 c≠0c\neq0 同时正确，也不符合题意. 因此 a=2a=2. 于是 bb，cc 为 0,10,1，且 b=2b=2 与 a≠2a\neq2 均不正确；要恰有一个关系正确，必须 c≠0c\neq0，所以 c=1c=1、b=0b=0. 因此 100a+10b+c=100×2+10×0+1=201100a+10b+c=100\times2+10\times0+1=201. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12集合与逻辑基础★★★☆☆
在整数集 Z\mathbf{Z} 中，被 5 除所得余数为 kk 的所有整数组成一个“类”，记为 [k][k]，即 [k]={5n+k∣n∈Z}[k] = \{5n + k \mid n \in \mathbf{Z}\}，k=0k = 0，11，22，33，44. 给出如下四个结论：
① 2011∈[1]2011 \in [1]； ② −3∈[3]-3 \in [3]； ③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]\mathbf{Z} = [0] \cup [1] \cup [2] \cup [3] \cup [4]； ④ “整数 aa，bb 属于同一‘类’”的充要条件是 “a−b∈[0]a - b \in [0]”.
其中，正确结论的个数是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2011 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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09复数★★★☆☆
对于复数 aa，bb，cc，dd，若集合 S={a,b,c,d}S = \{a, b, c, d\} 具有性质“对任意 xx，y∈Sy \in S，必有 xy∈Sxy \in S”，则当
{a=1,b2=1,c2=b\begin{cases} a = 1,\\ b^2 = 1,\\ c^2 = b \end{cases}
时，b+c+db + c + d 等于（ ）
A.
1
B.
−1-1
C.
0
D.
i\mathrm{i}

2010 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
对于平面上的点集 Ω\Omega，如果连接 Ω\Omega 中任意两点的线段必定包含于 Ω\Omega，则称 Ω\Omega 为平面上的凸集，给出平面上 4 个点集的图形如图所示（阴影区域及其边界），其中凸集的是______.（写出所有凸集相应图形的序号）

2010 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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07立体几何初步★★★☆☆
设 mm，nn 是平面 α\alpha 内的两条不同直线，l1l_{1}，l2l_{2} 是平面 β\beta 内的两条相交直线，则 α∥β\alpha\parallel\beta 的一个充分而不必要条件是（ ）
\begin{solution} 若m∥l1m\parallel l_1且n∥l2n\parallel l_2，则mm与nn的方向分别平行于平面β\beta内相交直线l1l_1与l2l_2的方向.由于mm，nn在平面α\alpha内且方向不同，平面α\alpha的两个方向均与平面β\beta的两个方向平行，从而α\alpha与β\beta平行.因此 B 是充分条件.
它不是必要条件.例如两平面平行时，可以在α\alpha内任取两条不同直线mm，nn，它们未必分别平行于指定的l1l_1，l2l_2.所以该条件充分而不必要，选 B. \end{solution}
A.
m∥βm\parallel\beta 且 l1∥αl_{1}\parallel\alpha
B.
m∥l1m\parallel l_{1} 且 n∥l2n\parallel l_{2}
C.
m∥βm\parallel\beta 且 n∥βn\parallel\beta
D.
m∥βm\parallel\beta 且 n∥l2n\parallel l_{2}

2009 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
设 mm，nn 是平面 α\alpha 内的两条不同直线，l1l_{1}，l2l_{2} 是平面 β\beta 内的两条相交直线，则 α∥β\alpha \parallel \beta 的一个充分而不必要条件是（ ）
A.
m∥βm \parallel \beta 且 l1∥αl_{1} \parallel \alpha
B.
m∥l1m \parallel l_{1} 且 n∥l2n \parallel l_{2}
C.
m∥βm \parallel \beta 且 n∥βn \parallel \beta
D.
m∥βm \parallel \beta 且 n∥l2n \parallel l_{2}

2009 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设 PP 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 aa，b∈Pb \in P，都有 a+ba+b，a−ba-b，abab，ab∈P\frac{a}{b} \in P（除数 b≠0b \neq 0），则称 PP 是一个数域. 例如有理数集 Q\mathbf{Q} 是数域. 有下列命题：
① 数域必含有 0,10,1 两个数； ② 整数集是数域； ③ 若有理数集 Q⊆M\mathbf{Q} \subseteq M，则数集 MM 必为数域； ④ 数域必为无限集.
其中正确的命题的序号是______.（把你认为正确的命题的序号都填上）
\begin{answer} \circled1\circled{1}，\circled4\circled{4} \end{answer}
\begin{solution} 判断四个命题如下.
（1）取数域 PP 中两个不同的数 aa，bb. 因为 a−b∈Pa-b\in P 且 a−b≠0a-b\neq0，所以 1=a−ba−b∈P1=\frac{a-b}{a-b}\in P，再由封闭性得 0=1−1∈P0=1-1\in P，命题正确.
（2）整数集不是数域，因为 11，2∈Z2\in\mathbf{Z}，但 12∉Z\frac12\notin\mathbf{Z}，命题错误.
（3）例如取 M=Q∪{2}M=\mathbf{Q}\cup\{\sqrt2\}. 虽然 Q⊆M\mathbf{Q}\subseteq M，但 1+2∉M1+\sqrt2\notin M，所以 MM 不一定是数域，命题错误.
（4）数域含有 11，由加法封闭性含有 11，22，33，…\ldots，这些数两两不同，因此数域必为无限集，命题正确. 所以正确命题的序号为 \circled1\circled{1}，\circled4\circled{4}. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等. 如果集合 AA 中元素之间的一个关系“∼\sim”满足以下三个条件：
① 自反性：对于任意 a∈Aa \in A，都有 a∼aa \sim a； ② 对称性：对于 aa，b∈Ab \in A，若 a∼ba \sim b，则有 b∼ab \sim a； ③ 传递性：对于 aa，bb，c∈Ac \in A，若 a∼ba \sim b，b∼cb \sim c，则有 a∼ca \sim c.
则称“∼\sim”是集合 AA 的一个等价关系. 例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）. 请你再列出三个等价关系：______.

2007 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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03集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 pp：若 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，则 ∣a∣+∣b∣>1|a| + |b| > 1 是 ∣a+b∣>1|a + b| > 1 的充要条件. 命题 qq：函数 y=∣x−1∣−2y = \sqrt{|x - 1|} - 2 的定义域是 (−∞,−1]∪[3,+∞)(- \infty, -1] \cup [3, +\infty). 则（ ）
A.
“pp 或 qq”为假
B.
“pp 且 qq”为真
C.
pp 真 qq 假
D.
pp 假 qq 真

2004 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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