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16立体几何初步★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，且以 2 为周期，则 f(x)f(x) 为 [0,1][0,1] 上的增函数是“f(x)f(x) 为 [3,4][3,4] 上的减函数”的（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设命题 PP 为“f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上为增函数”，命题 QQ 为“f(x)f(x) 在 [3,4][3,4] 上为减函数”. 由周期性和偶性，对 x∈[3,4]x\in[3,4] 有
f(x)=f(x−4)=f(4−x)f(x)=f(x-4)=f(4-x)
其中 4−x∈[0,1]4-x\in[0,1].
若 PP 成立，取 3≤x1<x2≤43\le x_{1}<x_{2}\le4，则 4−x1>4−x24-x_{1}>4-x_{2}，于是
f(x1)=f(4−x1)≥f(4−x2)=f(x2)f(x_{1})=f(4-x_{1})\ge f(4-x_{2})=f(x_{2})
所以 QQ 成立. 反之，若 QQ 成立，取 0≤u1<u2≤10\le u_{1}<u_{2}\le1，则 4−u2<4−u14-u_{2}<4-u_{1}，由 QQ 得
f(u2)=f(4−u2)≥f(4−u1)=f(u1)f(u_{2})=f(4-u_{2})\ge f(4-u_{1})=f(u_{1})
所以 PP 成立. 因此 PP 是 QQ 的充要条件，故选 D. \end{solution}
A.
既不充分也不必要的条件
B.
充分而不必要的条件
C.
必要而不充分的条件
D.
充要条件

2012 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设函数 f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3，g(x)=3x−2g(x)=3x-2，集合 M={x∈R∣f(g(x))>0}M=\{x\in\mathbf{R}\mid f(g(x))>0\}，N={x∈R∣g(x)<2}N=\{x\in\mathbf{R}\mid g(x)<2\}，则 M∩NM\cap N 为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 先求 f(g(x))f(g(x))：
f(g(x))=(3x−2)2−4(3x−2)+3=9x2−24x+15=3(3x−5)(x−1).f(g(x))=(3x-2)^2-4(3x-2)+3=9x^2-24x+15=3(3x-5)(x-1).
所以 f(g(x))>0f(g(x))>0 的解集为 x<1x<1 或 x>53x>\frac53. 另一方面，g(x)<2g(x)<2 等价于 3x−2<23x-2<2，即 x<43x<\frac43. 取交集时，区间 (53,+∞)(\frac53,+\infty) 与 (−∞,43)(-\infty,\frac43) 无交集，因此 M∩N=(−∞,1)M\cap N=(-\infty,1)，故选 D. \end{solution}
A.
(1,+∞)(1,+\infty)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(−1,1)(-1,1)
D.
(−∞,1)(-\infty,1)

2012 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
设 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})，B(4,95)B\left(4, \frac{9}{5}\right)，C(x2,y2)C(x_{2},y_{2}) 是右焦点为 FF 的椭圆 x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 上三个不同的点，则 “∣AF∣|AF|，∣BF∣|BF|，∣CF∣|CF| 成等差数列”是 “x1+x2=8x_{1} + x_{2} = 8” 的（ ）
A.
充要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分而不必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 α\alpha，β\beta 均为锐角，若 p:sin⁡α<sin⁡(α+β)p: \sin \alpha < \sin (\alpha + \beta)，q:α+β<π2q: \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2005 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 α\alpha，β\beta 均为锐角，若 p:sin⁡α<sin⁡(α+β)p: \sin \alpha < \sin (\alpha + \beta)，q:α+β<π2q: \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2005 · 重庆 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
一元二次方程 ax2+2x+1=0ax^2+2x+1=0（a≠0a\neq0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A.
a<0a<0
B.
a>0a>0
C.
a<−1a<-1
D.
a>1a>1

2004 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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