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16立体几何初步★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★☆☆
某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 1919 种商品，第二天售出 1313 种商品，第三天售出 1818 种商品；前两天都售出的商品有 33 种，后两天都售出的商品有 44 种，则该网店
(1) 第一天售出但第二天未售出的商品有______ 种； (2) 这三天售出的商品最少有______ 种.

2016 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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11复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
已知集合 {a,b,c}={0,1,2}\{a, b, c\} = \{0, 1, 2\}，且下列三个关系：
① a≠2a \neq 2； ② b=2b = 2； ③ c≠0c \neq 0
有且只有一个正确，则 100a+10b+c=100a + 10b + c =______.
\begin{answer} 201 \end{answer}
\begin{solution} 因为 {a,b,c}={0,1,2}\{a,b,c\}=\{0,1,2\}，所以 aa，bb，cc 是 00，11，22 的一个排列. 若 b=2b=2，则 aa，cc 为 0,10,1，此时 a≠2a\neq2 与 b=2b=2 同时正确，不符合题意. 因此 b≠2b\neq2. 若再有 a≠2a\neq2，则 aa，bb 为 0,10,1，从而 c=2c=2，这时 a≠2a\neq2 与 c≠0c\neq0 同时正确，也不符合题意. 因此 a=2a=2. 于是 bb，cc 为 0,10,1，且 b=2b=2 与 a≠2a\neq2 均不正确；要恰有一个关系正确，必须 c≠0c\neq0，所以 c=1c=1、b=0b=0. 因此 100a+10b+c=100×2+10×0+1=201100a+10b+c=100\times2+10\times0+1=201. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
已知集合 A={x∈R∣∣x+3∣+∣x−4∣⩽9}A = \{x \in \mathbf{R} \mid |x + 3| + |x - 4| \leqslant 9\}，B={x∈R∣x=4t+1t−6,t∈(0,+∞)}B = \left\{x \in \mathbf{R} \mid x = 4t + \frac{1}{t} - 6, t \in (0, +\infty)\right\}，则集合 A∩B=A \cap B =______. \begin{answer} {x∣−2⩽x⩽5}\{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 5\} \end{answer}
\begin{solution} 分段求集合 AA. 当 x<−3x<-3 时，
∣x+3∣+∣x−4∣=1−2x⩽9⟺x⩾−4|x+3|+|x-4|=1-2x\leqslant9 \quad\Longleftrightarrow\quad x\geqslant-4
当 −3⩽x⩽4-3\leqslant x\leqslant4 时，左式等于 77，恒满足不等式. 当 x>4x>4 时，
∣x+3∣+∣x−4∣=2x−1⩽9⟺x⩽5|x+3|+|x-4|=2x-1\leqslant9 \quad\Longleftrightarrow\quad x\leqslant5
所以 A=[−4,5]A=[-4,5].
对 BB，由 4t>04t>0、1t>0\frac{1}{t}>0，且
4t+1t⩾24t⋅1t=44t+\frac1t\geqslant2\sqrt{4t\cdot\frac1t}=4
等号在 t=12t=\frac{1}{2} 时成立. 函数 4t+1t−64t+\frac{1}{t}-6 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上连续，且当 t→0+t\to0^+ 或 t→+∞t\to+\infty 时趋于 +∞+\infty，故
B=[−2,+∞)B=[-2,+\infty)
因此
A∩B=[−4,5]∩[−2,+∞)=[−2,5]A\cap B=[-4,5]\cap[-2,+\infty)=[-2,5]
\end{solution}

2011 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
对于平面上的点集 Ω\Omega，如果连接 Ω\Omega 中任意两点的线段必定包含于 Ω\Omega，则称 Ω\Omega 为平面上的凸集，给出平面上 4 个点集的图形如图所示（阴影区域及其边界），其中凸集的是______.（写出所有凸集相应图形的序号）

2010 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
若规定 E={a1,a2,…,a10}E = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}\} 的子集 {ai1,ai2,…,ain}\{a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{n}}\} 为 EE 的第 kk 个子集，其中 k=2i1−1+2i2−1+2i3−1+⋯+2in−1k = 2^{i_{1} - 1} + 2^{i_{2} - 1} + 2^{i_{3} - 1} + \dots + 2^{i_{n} - 1}，则
(1) {a1,a3}\{a_1, a_3\} 是 EE 的第______ 个子集； (2) EE 的第211个子集是______.

2010 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设 SS 为实数集 R\mathbf{R} 的非空子集，若对任意 xx，y∈Sy \in S，都有 x+yx + y，x−yx - y，xy∈Sxy \in S，则称 SS 为封闭集. 下列命题：
① 集合 S={a+b3∣a,b 为整数}S = \{a + b\sqrt{3} \mid a, b\text{ 为整数}\} 为封闭集； ② 若 SS 为封闭集，则一定有 0∈S0 \in S； ③ 封闭集一定是无限集； ④ 若 SS 为封闭集，则满足 S⊆T⊆RS \subseteq T \subseteq \mathbf{R} 的任意集合 TT 也是封闭集.
其中的真命题是______（写出所有真命题的序号）

2010 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设 PP 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 aa，b∈Pb \in P，都有 a+ba+b，a−ba-b，abab，ab∈P\frac{a}{b} \in P（除数 b≠0b \neq 0），则称 PP 是一个数域. 例如有理数集 Q\mathbf{Q} 是数域. 有下列命题：
① 数域必含有 0,10,1 两个数； ② 整数集是数域； ③ 若有理数集 Q⊆M\mathbf{Q} \subseteq M，则数集 MM 必为数域； ④ 数域必为无限集.
其中正确的命题的序号是______.（把你认为正确的命题的序号都填上）
\begin{answer} \circled1\circled{1}，\circled4\circled{4} \end{answer}
\begin{solution} 判断四个命题如下.
（1）取数域 PP 中两个不同的数 aa，bb. 因为 a−b∈Pa-b\in P 且 a−b≠0a-b\neq0，所以 1=a−ba−b∈P1=\frac{a-b}{a-b}\in P，再由封闭性得 0=1−1∈P0=1-1\in P，命题正确.
（2）整数集不是数域，因为 11，2∈Z2\in\mathbf{Z}，但 12∉Z\frac12\notin\mathbf{Z}，命题错误.
（3）例如取 M=Q∪{2}M=\mathbf{Q}\cup\{\sqrt2\}. 虽然 Q⊆M\mathbf{Q}\subseteq M，但 1+2∉M1+\sqrt2\notin M，所以 MM 不一定是数域，命题错误.
（4）数域含有 11，由加法封闭性含有 11，22，33，…\ldots，这些数两两不同，因此数域必为无限集，命题正确. 所以正确命题的序号为 \circled1\circled{1}，\circled4\circled{4}. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等. 如果集合 AA 中元素之间的一个关系“∼\sim”满足以下三个条件：
① 自反性：对于任意 a∈Aa \in A，都有 a∼aa \sim a； ② 对称性：对于 aa，b∈Ab \in A，若 a∼ba \sim b，则有 b∼ab \sim a； ③ 传递性：对于 aa，bb，c∈Ac \in A，若 a∼ba \sim b，b∼cb \sim c，则有 a∼ca \sim c.
则称“∼\sim”是集合 AA 的一个等价关系. 例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）. 请你再列出三个等价关系：______.

2007 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 A={(x,y)∣y⩾∣x−2∣,x⩾0}A = \{(x, y) \mid y \geqslant |x - 2|, x \geqslant 0\}，B={(x,y)∣y⩽−x+b}B = \{(x, y) \mid y \leqslant -x + b\}，A∩B≠∅A \cap B \neq \emptyset.
(1) bb 的取值范围是______； (2) 若 (x,y)∈A∩B(x, y) \in A \cap B，且 x+2yx + 2y 的最大值为 9，则 bb 的值是______.

2007 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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08集合与逻辑基础★★★☆☆
设曲线 C1C_1 和 C2C_2 的方程分别为 F1(x,y)=0F_1(x,y) = 0 和 F2(x,y)=0F_2(x,y) = 0，则点 P(a,b)∉C1∩C2P(a,b) \notin C_1 \cap C_2 的一个充分条件为______.

2002 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 AA：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥. 命题 AA 的等价命题 BB 可以是：底面为正三角形，且______的三棱锥是正三棱锥.

2000 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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11集合与逻辑基础★★★☆☆
集合 A={(x,y)∣x2+y2=4}A = \{(x, y) | x^2 + y^2 = 4\}，B={(x,y)∣(x−3)2+(y−4)2=r2}B = \{(x, y) | (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2\}，其中 r>0r > 0，若 A∩BA \cap B 中有且仅有一个元素，则 rr 的值是______.

2000 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
从集合 {0,1,2,3,5,7,11}\{0,1,2,3,5,7,11\} 中任取 33 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 中的 AA，BB，CC，所得经过坐标原点的直线有______ 条.（结果用数值表示）

1997 · 上海 · 文 · 第 16 题（A） · 填空题

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