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29不等式★★★☆☆
对于函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x)，记集合 Df>g={x∣f(x)>g(x)}D_{f>g}=\{x\mid f(x)>g(x)\}.
(1) 设 f(x)=2∣x∣f(x)=2\lvert x\rvert，g(x)=x+3g(x)=x+3，求 Df>gD_{f>g}； (2) 设 f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=(13)x+a⋅3x+1f_2(x)=\left(\dfrac13\right)^x+a\cdot3^x+1，h(x)=0h(x)=0.如果 Df1>h∪Df2>h=RD_{f_1>h}\cup D_{f_2>h}=\mathbf{R}，求实数 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 春季 · 第 29 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设 aa，bb，cc，dd 均为正数，且 a+b=c+da+b=c+d. 证明：
(1) 若 ab>cdab>cd，则 a+b>c+d\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}； (2) a+b>c+d\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d} 是 ∣a−b∣<∣c−d∣\left|a-b\right|<\left|c-d\right| 的充要条件.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设 aa，bb，cc，dd 均为正数，且 a+b=c+da + b = c + d，证明：
(1) 若 ab>cdab > cd，则 a+b>c+d\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}； (2) a+b>c+d\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d} 是 ∣a−b∣<∣c−d∣|a - b| < |c - d| 的充要条件.

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=2∣x−1∣+x−1f(x) = 2|x - 1| + x - 1，g(x)=16x2−8x+1g(x) = 16x^{2} - 8x + 1，记 f(x)⩽1f(x) \leqslant 1 的解集为 MM，g(x)⩽4g(x) \leqslant 4 的解集为 NN.
(1) 求 MM； (2) 当 x∈M∩Nx \in M \cap N 时，证明：x2f(x)+x[f(x)]2⩽14x^2 f(x) + x[f(x)]^2 \leqslant \frac{1}{4}.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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15不等式★★★☆☆
记关于 xx 的不等式 x−ax+1<0\frac{x - a}{x + 1} < 0 的解集为 PP，不等式 ∣x−1∣⩽1|x - 1| \leqslant 1 的解集为 QQ.
(1) 若 a=3a = 3，求 PP. (2) 若 Q⊆PQ \subseteq P，求正数 aa 的取值范围.

2007 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
记函数 f(x)=2−x+3x+1f(x) = \sqrt{2 - \frac{x + 3}{x + 1}} 的定义域为 AA，g(x)=lg⁡[(x−a−1)(2a−x)]g(x) = \lg [(x - a - 1)(2a - x)]（a<1a < 1）的定义域为 BB.
(1) 求 AA. (2) 若 B⊆AB \subseteq A，求实数 aa 的取值范围.

2004 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 c>0c > 0，设 PP：函数 y=cxy = c^{x} 在 R\mathbf{R} 上单调递减；QQ：不等式 x+∣x−2c∣>1x + |x - 2c| > 1 的解集为 R\mathbf{R}. 如果 PP 和 QQ 有且仅有一个正确，求 cc 的取值范围.

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 c>0c > 0，设 PP：函数 y=cxy = c^{x} 在 R\mathbf{R} 上单调递减；QQ：不等式 x+∣x−2c∣>1x + |x - 2c| > 1 的解集为 R\mathbf{R}. 如果 PP 和 QQ 有且仅有一个正确，求 cc 的取值范围.

2003 · 粤桂 · 第 19 题 · 解答题

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25集合与逻辑基础★★★☆☆
设 A={x∣log⁡13∣x−π3∣⩾log⁡132π3, x∈R}A=\left\{x\mid \log_{\frac{1}{3}}\left|x-\frac{\pi}{3}\right|\geqslant \log_{\frac{1}{3}}\frac{2\pi}{3},\,x\in\mathbf{R}\right\}，B={x∣cos⁡x⩾0, x∈R}B=\left\{x\mid \cos x\geqslant 0,\,x\in\mathbf{R}\right\}. 求 D=A∩BD=A\cap B（最后结果以区间形式给出），并在数轴上标出集合 DD.

1987 · 上海 · 第 25 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★☆☆
已知集合 AA 和集合 BB 各含有 1212 个元素，A∩BA \cap B 含有 44 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 CC 的个数：
① C⊆A∪BC \subseteq A \cup B 且 CC 中含有 33 个元素； ② C∩A≠∅C \cap A \neq \varnothing（∅\varnothing 表示空集）.

1986 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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06三角函数★★★☆☆
(1) 若四边形 ABCDABCD 的对角线 ACAC 将四边形分成面积相等的两个三角形，证明：直线 ACAC 必平分对角线 BDBD； (2) 写出第（1）小题的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？

1980 · 全国 · 文 · 第 6 题 · 解答题

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11集合与逻辑基础★★★☆☆
若齐次线性方程组
{x+ay+a2z=0,ax+a2y+z=0,a2x+y+az=0\begin{cases} x+ay+a^2z=0,\\ ax+a^2y+z=0,\\ a^2x+y+az=0 \end{cases}
有非零解，那末 aa 应为何值？

1977 · 青海 · 第 11 题 · 解答题

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