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18立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面 ABCDABCD 是矩形，点 HH 在线段 ADAD 上，PH⊥平面 ABCDPH\perp\text{平面 }ABCD，AB=2AB=2，AH=1AH=1，HD=4HD=4.
(1) 证明：HC⊥PBHC \perp PB； (2) 若四棱锥体积 VP−ABCD=1053V_{P-ABCD}=\frac{10\sqrt{5}}{3}，求二面角 C−PB−HC-PB-H 的大小.

2026 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，PP 是圆锥顶点，OO 为底面圆心，ABAB 为底面直径，且 AB=2AB=2.
(1) 若直线 PAPA 与圆锥底面所成角为 π3\frac{\pi}{3}，求圆锥侧面积； (2) 已知 QQ 是母线 PAPA 中点，点 CC，DD 在底面圆周上，且弧 ACAC 长为 π3\frac{\pi}{3}，CD∥ABCD\parallel AB. 设点 TT 在线段 OCOC 上，证明 QT∥PBDQT\parallel PBD 所在平面.

2025 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在正四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，OO 为底面 ABCDABCD 的中心.
(1) 若 AP=5AP=5，AD=32AD=3\sqrt{2}，将 △POA\triangle POA 绕直线 POPO 旋转一周，求所得旋转体的体积； (2) 若 AP=ADAP=AD，EE 为 PBPB 的中点，求直线 BDBD 与平面 AECAEC 所成角的大小.

2024 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB∥DCAB\parallel DC，AB⊥ADAB\perp AD，AB=2AB=2，AD=3AD=3，DC=4DC=4.

2023 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，已知三棱锥 P−ABCP-ABC，底面 ABCABC 为等边三角形，OO 为 ACAC 的中点，AP=AC=2AP=AC=2，且 PO⊥PO\perp 底面 ABCABC.
(1) 求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积 VV； (2) 若 MM 为 BCBC 中点，求 PMPM 与平面 PACPAC 所成角的大小.

2022 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，已知 AB=BC=2AB=BC=2，AA1=3AA_1=3.
(1) 若 PP 是棱 A1D1A_1D_1 上的动点，求三棱锥 C−PADC-PAD 的体积； (2) 求直线 AB1AB_1 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 的夹角大小.

2021 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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15立体几何初步★★★☆☆
在棱长为 1010 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP 为左侧面 ADD1A1ADD_1A_1 上一点，已知点 PP 到 A1D1A_1D_1 的距离为 33，PP 到 AA1AA_1 的距离为 22，则过点 PP 且与 A1CA_1C 平行的直线交正方体于 PP，QQ 两点，则 QQ 点所在的平面是（ ）
A.
AA1B1BAA_1B_1B
B.
BB1C1CBB_1C_1C
C.
CC1D1DCC_1D_1D
D.
ABCDABCD

2020 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知 ABCDABCD 是边长为 11 的正方形，正方形 ABCDABCD 绕 ABAB 旋转形成一个圆柱.
(1) 求该圆柱的表面积； (2) 正方形 ABCDABCD 绕 ABAB 逆时针旋转 π2\frac{\pi}{2} 至 ABC1D1ABC_1D_1，求线段 CD1CD_1 与平面 ABCDABCD 所成的角.

2020 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，MM 为 BB1BB_1 上一点，已知 BM=2BM=2，AD=4AD=4，CD=3CD=3，AA1=5AA_1=5.
(1) 求直线 A1CA_1C 与平面 ABCDABCD 的夹角； (2) 求点 AA 到平面 A1MCA_1MC 的距离.

2019 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 PP，底面圆心为 OO，半径为 22.
(1) 设圆锥的母线长为 44，求圆锥的体积； (2) 设 PO=4PO=4，OAOA，OBOB 是底面半径，且 ∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ，MM 为线段 ABAB 的中点，如图，求异面直线 PMPM 与 OBOB 所成的角的大小.

2018 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
将边长为 11 的正方形 AA1O1OAA_1O_1O（及其内部）绕 OO1OO_1 旋转一周形成圆柱，如图，AC^\widehat{AC} 长为 2π3\dfrac{2\pi}{3}，A1B1^\widehat{A_1B_1} 长为 π3\dfrac{\pi}{3}，其中 B1B_1 与 CC 在平面 AA1O1OAA_1O_1O 的同侧.
(1) 求三棱锥 C−O1A1B1C-O_1A_1B_1 的体积； (2) 求异面直线 B1CB_1C 与 AA1AA_1 所成角的大小.

2016 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
将边长为 11 的正方形 AA1O1OAA_1O_1O（及其内部）绕 OO1OO_1 旋转一周形成圆柱，如图，AC^\widehat{AC} 长为 5π6\dfrac{5\pi}{6}，A1B1^\widehat{A_1B_1} 长为 π3\dfrac{\pi}{3}，其中 B1B_1 与 CC 在平面 AA1O1OAA_1O_1O 的同侧.
(1) 求圆柱的体积与侧面积； (2) 求异面直线 O1B1O_1B_1 与 OCOC 所成的角的大小.

2016 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=1AA_{1} = 1，AB=AD=2AB = AD = 2，EE，FF 分别是棱 ABAB，BCBC 的中点. 证明 A1A_{1}，C1C_{1}，FF，EE 四点共面，并求直线 CD1CD_{1} 与平面 A1C1FEA_{1}C_{1}FE 所成角的正弦值.

2015 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，圆锥的顶点为 PP，底面圆心为 OO，底面的一条直径为 ABAB，CC 为半圆弧 AB^\widehat{AB} 的中点，EE 为劣弧 CB^\widehat{CB} 的中点. 已知 PO=2PO = 2，OA=1OA = 1，求三棱锥 P−AOCP - AOC 的体积，并求异面直线 PAPA 与 OEOE 所成角的余弦值.

2015 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
底面边长为 22 的正三棱锥 P−ABCP-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3P_{1}P_{2}P_{3}，如图，求 △P1P2P3\triangle P_{1}P_{2}P_{3} 的各边长及此三棱锥的体积 VV.

2014 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD-A'B'C'D' 中，AB=2AB=2，AD=1AD=1，AA′=1AA'=1，证明直线 BC′BC' 平行于平面 D′ACD'AC，并求直线 BC′BC' 到平面 D′ACD'AC 的距离.

2013 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，EE 是 PCPC 的中点. 已知 AB=2AB = 2，AD=22AD = 2\sqrt{2}，PA=2PA = 2. 求：
(1) 三角形 PCDPCD 的面积； (2) 异面直线 BCBC 与 AEAE 所成角的大小.

2012 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCABC，DD 是 PCPC 的中点. 已知 ∠BAC=π2\angle BAC = \frac{\pi}{2}，AB=2AB = 2，AC=23AC = 2\sqrt{3}，PA=2PA = 2. 求：
(1) 三棱锥 P−ABCP - ABC 的体积； (2) 异面直线 BCBC 与 ADAD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

2012 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
已知 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是底面边长为 11 的正四棱柱，高 AA1=2AA_{1} = 2，求：
(1) 异面直线 BDBD 与 AB1AB_{1} 所成角的余弦值； (2) 四面体 AB1D1CAB_{1}D_{1}C 的体积.

2011 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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12立体几何初步★★★☆☆
如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCDABCD 中，ACAC 与 BDBD 相交于点 OO，剪去 △AOB\triangle AOB. 将剩余部分沿 OCOC，ODOD 折叠，使 OAOA，OBOB 重合，则以 A(B)A(B)，CC，DD，OO 为顶点的四面体的体积是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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21立体几何初步★★★☆☆
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 44 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米9.6\text{ 米} 铁丝. 骨架将圆柱底面 88 等分，再用 S 平方米S\text{ 平方米} 塑料片制成圆柱的侧面和下底面 （不安装上底面）.
(1) 当圆柱底面半径 rr 取何值时，SS 取得最大值？并求出该最大值 （结果精确到 0.01 平方米0.01\text{ 平方米}）； (2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯. 当灯笼底面半径为 0.3 米0.3\text{ 米} 时，求图中两根直线型霓虹灯 A1B3A_{1}B_{3}，A3B5A_{3}B_{5} 所在异面直线所成角的大小 （结果用反三角函数表示）.

2010 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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05立体几何初步★★★☆☆
如图，若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 的底面边长为 22，高为 44，则异面直线 BD1BD_1 与 ADAD 所成角的大小是______. （结果用反三角函数表示）

2009 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中，AA1=BC=AB=2AA_1 = BC = AB = 2，AB⊥BCAB \perp BC，求二面角 B1−A1C−C1B_1 - A_1C - C_1 的大小.

2009 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在体积为 1 的直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，AC=BC=1AC = BC = 1，求直线 A1BA_{1}B 与平面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 所成角.（结果用反三角函数值表示）

2007 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
在正四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA=2PA = 2，直线 PAPA 与平面 ABCDABCD 所成的角为 60∘60^{\circ}，求正四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的体积 VV.

2007 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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