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05立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，错误的是（ ）
A.
AC//A1C1AC//A_1C_1
B.
CC1⊥面ABCCC_1\perp \text{面} ABC
C.
ACD1//面A1C1BACD_1//\text{面} A_1C_1B
D.
ADD1⊥面ACD1ADD_1\perp \text{面} ACD_1

2026 · 天津 · 第 5 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=3AA_1=3，AD=4AD=4，A1E=3ED1A_1E=3ED_1，2C1F=FC2C_1F=FC.
(1) 求证：BD⊥面CEFBD\perp \text{面} CEF； (2) 求面 AEFAEF 与面 CEFCEF 的夹角的余弦值； (3) 求三棱锥 A−CEFA-CEF 的体积.

2026 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，底面 ABCDABCD 为梯形，AB∥CDAB\parallel CD，A1A⊥A_1A\perp 平面 ABCDABCD，AD⊥ABAD\perp AB，其中 AB=A1A=2AB=A_1A=2，AD=DC=1AD=DC=1. NN 是 B1C1B_1C_1 的中点，MM 是 DD1DD_1 的中点.
(1) 求证：D1N∥D_1N\parallel 平面 CB1MCB_1M； (2) 求平面 CB1MCB_1M 与平面 BB1CC1BB_1CC_1 的夹角余弦值； (3) 求点 BB 到平面 CB1MCB_1M 的距离.

2024 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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08立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，线段 PCPC 上的点 MM 满足 PM=13PCPM=\dfrac{1}{3}PC，线段 PBPB 上的点 NN 满足 PN=23PBPN=\dfrac{2}{3}PB，则三棱锥 P−AMNP-AMN 和三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积之比为（ ）
A.
19\dfrac{1}{9}
B.
29\dfrac{2}{9}
C.
13\dfrac{1}{3}
D.
49\dfrac{4}{9}

2023 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
三棱台 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，若 A1A⊥面 ABCA_1A\perp \text{面 }ABC，AB⊥ACAB\perp AC，AB=AC=A1A=2AB=AC=A_1A=2，A1C1=1A_1C_1=1，MM，NN 分别是 BCBC，BABA 中点.
(1) 求证：A1N∥平面 C1MAA_1N\parallel \text{平面 }C_1MA； (2) 求平面 C1MAC_1MA 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成夹角的余弦值； (3) 求点 CC 到平面 C1MAC_1MA 的距离.

2023 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AC⊥ABAC\perp AB，点 DD，EE，FF 分别为 A1B1A_1B_1，AA1AA_1，CDCD 的中点，AB=AC=AA1=2AB=AC=AA_1=2.
(1) 求证：EF∥EF\parallel 平面 ABCABC； (2) 求直线 BEBE 与平面 CC1DCC_1D 所成角的正弦值； (3) 求平面 A1CDA_1CD 与平面 CC1DCC_1D 所成二面角的余弦值.

2022 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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06立体几何初步★★★☆☆
两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 32π3\dfrac{32\pi}{3}，两个圆锥的高之比为 1:31:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
9π9\pi
D.
12π12\pi

2021 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为棱 BCBC 的中点，FF 为棱 CDCD 的中点.
(1) 求证：D1F∥D_1F\parallel 平面 A1EC1A_1EC_1； (2) 求直线 AC1AC_1 与平面 A1EC1A_1EC_1 所成角的正弦值； (3) 求二面角 A−A1C1−EA-A_1C_1-E 的正弦值.

2021 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，CC1⊥CC_1\perp 平面 ABCABC，AC⊥BCAC\perp BC，AC=BC=2AC=BC=2，CC1=3CC_1=3，点 DD，EE 分别在棱 AA1AA_1 和棱 CC1CC_1 上，且 AD=1AD=1，CE=2CE=2，MM 为棱 A1B1A_1B_1 的中点.
(1) 求证：C1M⊥B1DC_1M\perp B_1D； (2) 求二面角 B−B1E−DB-B_1E-D 的正弦值； (3) 求直线 ABAB 与平面 DB1EDB_1E 所成角的正弦值.

2020 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★☆☆
已知四棱锥的底面是边长为 2\sqrt2 的正方形，侧棱长均为 5\sqrt5. 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______. \begin{answer} π4\dfrac{\pi}{4} \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知四棱锥的底面是边长为 2\sqrt2 的正方形，侧棱长均为 5\sqrt5. 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______.

2019 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，△PCD\triangle PCD 为等边三角形，平面 PAC⊥PAC\perp 平面 PCDPCD，PA⊥CDPA\perp CD，CD=2CD=2，AD=3AD=3.
(1) 设 GG，HH 分别为 PBPB，ACAC 的中点，求证：GH//GH// 平面 PADPAD； (2) 求证：PA⊥PA\perp 平面 PCDPCD； (3) 求直线 ADAD 与平面 PACPAC 所成角的正弦值.

2019 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★☆☆
如图，已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 11，则四棱锥 A1−BB1D1DA_1-BB_1D_1D 的体积为______.

2018 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四面体 ABCDABCD 中，△ABC\triangle ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥ABC\perp 平面 ABDABD，点 MM 为棱 ABAB 的中点，AB=2AB=2，AD=23AD=2\sqrt3，∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ.
(1) 求证：AD⊥BCAD\perp BC； (2) 求异面直线 BCBC 与 MDMD 所成角的余弦值； (3) 求直线 CDCD 与平面 ABDABD 所成角的正弦值.

2018 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，AD⊥AD\perp 平面 PDCPDC，AD∥BCAD\parallel BC，PD⊥PBPD\perp PB，AD=1AD=1，BC=3BC=3，CD=4CD=4，PD=2PD=2.
(1) 求异面直线 APAP 与 BCBC 所成角的余弦值； (2) 求证：PD⊥PD\perp 平面 PBCPBC； (3) 求直线 ABAB 与平面 PBCPBC 所成角的正弦值.

2017 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，已知 AA1⊥AA_{1} \perp 平面 ABCABC，BB1∥AA1BB_{1} \parallel AA_{1}，AB=AC=3AB = AC = 3，BC=25BC = 2\sqrt{5}，AA1=7AA_{1} = \sqrt{7}，BB1=27BB_{1} = 2\sqrt{7}，点 EE 和 FF 分别为 BCBC 和 A1CA_{1}C 的中点.
(1) 求证： EF∥EF \parallel 平面 A1B1BAA_{1}B_{1}BA； (2) 求证：平面 AEA1⊥AEA_{1} \perp 平面 BCB1BCB_{1}； (3) 求直线 A1B1A_{1}B_{1} 与平面 BCB1BCB_{1} 所成角的大小.

2015 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AD⊥ABAD \perp AB，AB∥DCAB \parallel DC，AD=DC=AP=2AD = DC = AP = 2，AB=1AB = 1，点 EE 为棱 PCPC 的中点.
(1) 证明：BE⊥DCBE \perp DC； (2) 求直线 BEBE 与平面 PBDPBD 所成角的正弦值； (3) 若 FF 为棱 PCPC 上一点，满足 BF⊥ACBF \perp AC，求二面角 F−AB−PF - AB - P 的余弦值.

2014 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱 A1A⊥A_{1}A \perp 底面 ABCABC，且各棱长均相等，DD，EE，FF 分别为棱 ABAB，BCBC，A1C1A_{1}C_{1} 的中点.
(1) 证明 EF∥EF \parallel 平面 A1CDA_{1}CD； (2) 证明平面 A1CD⊥A_{1}CD \perp 平面 A1ABB1A_{1}ABB_{1}； (3) 求直线 BCBC 与平面 A1CDA_{1}CD 所成角的正弦值.

2013 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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13立体几何初步★★★☆☆
如图，已知 ABAB 和 ACAC 是圆的两条弦，过点 BB 作圆的切线与 ACAC 的延长线相交于点 DD. 过点 CC 作 BDBD 的平行线与圆相交于点 EE，与 ABAB 相交于点 FF，AF=3AF = 3，FB=1FB = 1，EF=32EF = \frac{3}{2}，则线段 CDCD 的长为______.

2012 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，AC⊥ADAC \perp AD，AB⊥BCAB \perp BC，∠BAC=45∘\angle BAC = 45^{\circ}，PA=AD=2PA = AD = 2，AC=1AC = 1.
(1) 证明 PC⊥ADPC \perp AD； (2) 求二面角 A−PC−DA - PC - D 的正弦值； (3) 设 EE 为棱 PAPA 上的点，满足异面直线 BEBE 与 CDCD 所成的角为 30∘30^{\circ}，求 AEAE 的长.

2012 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形，AD⊥PDAD \perp PD，BC=1BC = 1，PC=23PC = 2\sqrt{3}，PD=CD=2PD = CD = 2.
(1) 求异面直线 PAPA 与 BCBC 所成角的正切值； (2) 证明：平面 PDC⊥PDC \perp 平面 ABCDABCD； (3) 求直线 PBPB 与平面 ABCDABCD 所成角的正弦值.

2012 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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12立体几何初步★★★☆☆
如图，已知圆中两条弦 ABAB 与 CDCD 相交于点 FF，EE 是 ABAB 延长线上一点，且 DF=CF=2DF = CF = \sqrt{2}，AF:FB:BE=4:2:1AF:FB:BE = 4:2:1. 若 CECE 与圆相切，则 CECE 的长为______.
\begin{answer} 72\frac{\sqrt{7}}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设 AF=4kAF=4k，FB=2kFB=2k，BE=kBE=k. 由相交弦定理，
AF⋅FB=DF⋅CFAF\cdot FB=DF\cdot CF
即
(4k)(2k)=2⋅2=2(4k)(2k)=\sqrt2\cdot\sqrt2=2
因 k>0k>0，故 k=12k=\frac12. 从而 AF=2AF=2，FB=1FB=1，BE=12BE=\frac12. 因 EE 在 ABAB 的延长线上且位于 BB 的外侧，
EA=AF+FB+BE=2+1+12=72EA=AF+FB+BE=2+1+\frac12=\frac72
由切割线定理，
CE2=EA⋅EB=72⋅12=74CE^2=EA\cdot EB=\frac72\cdot\frac12=\frac74
所以
CE=72CE=\frac{\sqrt7}{2}
\end{solution}

2011 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在五面体 ABCDEFABCDEF 中，FA⊥FA \perp 平面 ABCDABCD，AD∥BC∥FEAD \parallel BC \parallel FE，AB⊥ADAB \perp AD，MM 为 ECEC 的中点，AF=AB=BC=FE=12ADAF = AB = BC = FE = \frac{1}{2} AD.
(1) 求异面直线 BFBF 与 DEDE 所成角的大小. (2) 证明平面 AMD⊥AMD \perp 平面 CDECDE. (3) 求二面角 A−CD−EA - CD - E 的余弦值.

2009 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，AD⊥CDAD \perp CD，且 DBDB 平分 ∠ADC\angle ADC，EE 为 PCPC 的中点，AD=CD=1AD = CD = 1，DB=22DB = 2\sqrt{2}.
(1) 证明 PA∥PA \parallel 平面 BDEBDE； (2) 证明 AC⊥AC \perp 平面 PBDPBD； (3) 求直线 BCBC 与平面 PBDPBD 所成的角的正切值.

2009 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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06立体几何初步★★★☆☆
设 aa，bb 为两条直线，α\alpha，β\beta 为两个平面. 下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A.
若 aa，bb 与 α\alpha 所成的角相等，则 a∥ba \parallel b
B.
若 a∥αa \parallel \alpha，b∥βb \parallel \beta，α∥β\alpha \parallel \beta，则 a∥ba \parallel b
C.
若 a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥ba \parallel b，则 α∥β\alpha \parallel \beta
D.
若 a⊥αa \perp \alpha，b⊥βb \perp \beta，α⊥β\alpha \perp \beta，则 a⊥ba \perp b

2007 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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