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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中，DD 为 BCBC 中点，则（ ）
A.
AD⊥A1CAD \perp A_1C
B.
B1C1⊥平面AA1DB_1C_1 \perp \text{平面} AA_1D
C.
AD∥A1B1AD \parallel A_1B_1
D.
CC1∥平面AA1DCC_1 \parallel \text{平面} AA_1D

2025 · 全国 · 一卷 · 第 9 题 · 多选题

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096分立体几何初步★★★☆☆
已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1，则（ ）
A.
直线 BC1BC_1 与 DA1DA_1 所成的角为 90∘90^\circ
B.
直线 BC1BC_1 与 CA1CA_1 所成的角为 90∘90^\circ
C.
直线 BC1BC_1 与平面 BB1D1DBB_1D_1D 所成的角为 45∘45^\circ
D.
直线 BC1BC_1 与平面 ABCDABCD 所成的角为 45∘45^\circ

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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1917分立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 44，△A1BC\triangle A_1BC 的面积为 222\sqrt2.
(1) 求 AA 到平面 A1BCA_1BC 的距离； (2) 设 DD 为 A1CA_1C 的中点，AA1=ABAA_1=AB，平面 A1BC⊥A_1BC\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，求二面角 A−BD−CA-BD-C 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 为球 OO 的球面上的三个点，⊙O1\odot O_1 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆. 若 ⊙O1\odot O_1 的面积为 4π4\pi，AB=BC=AC=OO1AB=BC=AC=OO_1，则球 OO 的表面积为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
64π64\pi
B.
48π48\pi
C.
36π36\pi
D.
32π32\pi

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A.
5−14\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}
B.
5−12\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
C.
5+14\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}
D.
5+12\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 为球 OO 的球面上的三个点，⊙O1\odot O_1 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆. 若 ⊙O1\odot O_1 的面积为 4π4\pi，AB=BC=AC=OO1AB=BC=AC=OO_1，则球 OO 的表面积为（ ）
A.
64π64\pi
B.
48π48\pi
C.
36π36\pi
D.
32π32\pi

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，△ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，∠APC=90∘\angle APC=90^{\circ}.
(1) 证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PACPAC； (2) 设 DO=2DO=\sqrt{2}，圆锥的侧面积为 3π\sqrt{3}\pi，求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求二面角 A−MA1−NA-MA_1-N 的正弦值.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求点 CC 到平面 C1DEC_1DE 的距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
某圆柱的高为 22，底面周长为 1616，其三视图如图. 圆柱表面上的点 MM 在正视图上的对应点为 AA，圆柱表面上的点 NN 在左视图上的对应点为 BB，则在此圆柱侧面上，从 MM 到 NN 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.
2172\sqrt{17}
B.
252\sqrt5
C.
33
D.
22

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
某圆柱的高为 22，底面周长为 1616，其三视图如图. 圆柱表面上的点 MM 在正视图上的对应点为 AA，圆柱表面上的点 NN 在左视图上的对应点为 BB，则在此圆柱侧面上，从 MM 到 NN 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.
2172\sqrt{17}
B.
252\sqrt5
C.
33
D.
22

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在平行四边形 ABCMABCM 中，AB=AC=3AB=AC=3，∠ACM=90∘\angle ACM=90^\circ，以 ACAC 为折痕将 △ACM\triangle ACM 折起，使点 MM 到达点 DD 的位置，且 AB⊥DAAB\perp DA.
(1) 证明：平面 ACD⊥ACD\perp 平面 ABCABC； (2) QQ 为线段 ADAD 上一点，PP 为线段 BCBC 上一点，且 BP=DQ=23DABP=DQ=\dfrac23DA，求三棱锥 Q−ABPQ-ABP 的体积.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在 ⊙O\odot O 中，相交于点 EE 的两弦 ABAB，CDCD 的中点分别是 MM，NN，直线 MOMO 与直线 CDCD 相交于点 FF. 证明：
(1) ∠MEN+∠NOM=180∘\angle MEN + \angle NOM = 180^{\circ}； (2) FE⋅FN=FM⋅FOFE\cdot FN = FM\cdot FO.

2015 · 湖南 · 理 · 第 16 题（I） · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的底面是边长为 22 的正三角形，EE，FF 分别是 BCBC，CC1CC_{1} 的中点.
(1) 证明：平面 AEF⊥AEF \perp 平面 B1BCC1B_{1}BCC_{1}； (2) 若直线 A1CA_{1}C 与平面 A1ABB1A_{1}ABB_{1} 所成的角为 45∘45^{\circ}，求三棱锥 F-AECF\text{-}AEC 的体积.

2015 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由三视图可知，该几何体是棱长为 1212 的直三棱柱，三棱柱的直角三角形底面的两条直角边长分别为 66、88，斜边长为 1010. 这个三角形的内切圆半径为
r0=6+8−102=2r_0=\frac{6+8-10}{2}=2
任意内接球在垂直于棱柱侧棱的截面上都是内接于该直角三角形的圆，所以球半径不超过 22. 另一方面，将球心取在三角形内心且位于棱柱长度方向的中点，半径为 22 的球到两个端面的距离均为 66，能完整置于棱柱内. 因而最大半径为 22，故选 B. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2014 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2014 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，已知二面角 α−MN−β\alpha - MN - \beta 的大小为 60∘60^{\circ}，菱形 ABCDABCD 在面 β\beta 内，AA，BB 两点在棱 MNMN 上，∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}，EE 是 ABAB 的中点，DO⊥DO \perp 面 α\alpha，垂足为 OO.
(1) 证明： AB⊥AB \perp 平面 ODEODE； (2) 求异面直线 BCBC 与 ODOD 所成角的余弦值.

2014 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在直棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠BAD=90∘\angle BAD = 90^{\circ}，AC⊥BDAC \perp BD，BC=1BC = 1，AD=AA1=3AD = AA_{1} = 3.
(1) 证明： AC⊥B1DAC \perp B_{1}D； (2) 求直线 B1C1B_{1}C_{1} 与平面 ACD1ACD_{1} 所成角的正弦值.

2013 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 2\sqrt{2} 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
1
C.
2+12\frac{\sqrt{2} + 1}{2}
D.
2\sqrt{2}

2013 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，AB=AC=2AB = AC = \sqrt{2}，AA1=3AA_{1} = 3，DD 是 BCBC 的中点，点 EE 在棱 BB1BB_{1} 上运动.
(1) 证明：AD⊥C1EAD \perp C_{1}E； (2) 当异面直线 ACAC，C1EC_1E 所成的角为 60∘60^\circ 时，求三棱锥 C1−A1B1EC_1 - A_1B_1E 的体积.

2013 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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03立体几何初步★★★☆☆
某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2012 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，底面 ABCDABCD 是等腰梯形，AD∥BCAD\parallel BC，AC⊥BDAC \perp BD.
(1) 证明： BD⊥PCBD \perp PC； (2) 若 AD=4AD=4，BC=2BC=2，直线 PDPD 与平面 PACPAC 所成的角为 30∘30^{\circ}，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积.

2012 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在圆锥 POPO 中，已知 PO=2PO = \sqrt{2}，⊙O\odot O 的直径 AB=2AB = 2，点 CC 在 AB^\widehat{AB} 上，且 ∠CAB=30∘\angle CAB = 30^{\circ}，DD 为 ACAC 的中点.
(1) 证明： AC⊥AC \perp 平面 PODPOD； (2) 求直线 OCOC 和平面 PACPAC 所成角的正弦值.

2011 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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