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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中，DD 为 BCBC 中点，则（ ）
A.
AD⊥A1CAD \perp A_1C
B.
B1C1⊥平面AA1DB_1C_1 \perp \text{平面} AA_1D
C.
AD∥A1B1AD \parallel A_1B_1
D.
CC1∥平面AA1DCC_1 \parallel \text{平面} AA_1D

2025 · 全国 · 一卷 · 第 9 题 · 多选题

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096分立体几何初步★★★☆☆
已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1，则（ ）
A.
直线 BC1BC_1 与 DA1DA_1 所成的角为 90∘90^\circ
B.
直线 BC1BC_1 与 CA1CA_1 所成的角为 90∘90^\circ
C.
直线 BC1BC_1 与平面 BB1D1DBB_1D_1D 所成的角为 45∘45^\circ
D.
直线 BC1BC_1 与平面 ABCDABCD 所成的角为 45∘45^\circ

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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1917分立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 44，△A1BC\triangle A_1BC 的面积为 222\sqrt2.
(1) 求 AA 到平面 A1BCA_1BC 的距离； (2) 设 DD 为 A1CA_1C 的中点，AA1=ABAA_1=AB，平面 A1BC⊥A_1BC\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，求二面角 A−BD−CA-BD-C 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 为球 OO 的球面上的三个点，⊙O1\odot O_1 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆. 若 ⊙O1\odot O_1 的面积为 4π4\pi，AB=BC=AC=OO1AB=BC=AC=OO_1，则球 OO 的表面积为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
64π64\pi
B.
48π48\pi
C.
36π36\pi
D.
32π32\pi

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A.
5−14\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}
B.
5−12\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
C.
5+14\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}
D.
5+12\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 为球 OO 的球面上的三个点，⊙O1\odot O_1 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆. 若 ⊙O1\odot O_1 的面积为 4π4\pi，AB=BC=AC=OO1AB=BC=AC=OO_1，则球 OO 的表面积为（ ）
A.
64π64\pi
B.
48π48\pi
C.
36π36\pi
D.
32π32\pi

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，△ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，∠APC=90∘\angle APC=90^{\circ}.
(1) 证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PACPAC； (2) 设 DO=2DO=\sqrt{2}，圆锥的侧面积为 3π\sqrt{3}\pi，求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求二面角 A−MA1−NA-MA_1-N 的正弦值.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求点 CC 到平面 C1DEC_1DE 的距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
某圆柱的高为 22，底面周长为 1616，其三视图如图. 圆柱表面上的点 MM 在正视图上的对应点为 AA，圆柱表面上的点 NN 在左视图上的对应点为 BB，则在此圆柱侧面上，从 MM 到 NN 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.
2172\sqrt{17}
B.
252\sqrt5
C.
33
D.
22

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
某圆柱的高为 22，底面周长为 1616，其三视图如图. 圆柱表面上的点 MM 在正视图上的对应点为 AA，圆柱表面上的点 NN 在左视图上的对应点为 BB，则在此圆柱侧面上，从 MM 到 NN 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.
2172\sqrt{17}
B.
252\sqrt5
C.
33
D.
22

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在平行四边形 ABCMABCM 中，AB=AC=3AB=AC=3，∠ACM=90∘\angle ACM=90^\circ，以 ACAC 为折痕将 △ACM\triangle ACM 折起，使点 MM 到达点 DD 的位置，且 AB⊥DAAB\perp DA.
(1) 证明：平面 ACD⊥ACD\perp 平面 ABCABC； (2) QQ 为线段 ADAD 上一点，PP 为线段 BCBC 上一点，且 BP=DQ=23DABP=DQ=\dfrac23DA，求三棱锥 Q−ABPQ-ABP 的体积.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在几何体 ABCDEABCDE 中，四边形 ABCDABCD 是矩形，AB⊥AB \perp 平面 BECBEC，BE⊥ECBE \perp EC，AB=BE=EC=2AB = BE = EC = 2，GG、FF 分别是线段 BEBE、DCDC 的中点.
(1) 求证：GF∥GF \parallel 平面 ADEADE； (2) 求平面 AEFAEF 与平面 BECBEC 所成锐二面角的余弦值.

2015 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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09立体几何初步★★★☆☆
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A.
8+228 + 2\sqrt{2}
B.
11+2211 + 2\sqrt{2}
C.
14+2214 + 2\sqrt{2}
D.
15

2015 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，AB=BD=CD=1AB = BD = CD = 1，AB⊥BDAB \perp BD，CD⊥BDCD \perp BD. 将 △ABD\triangle ABD 沿 BDBD 折起，使得平面 ABD⊥ABD \perp 平面 BCDBCD，如图.
(1) 求证：AB⊥CDAB \perp CD； (2) 若 MM 为 ADAD 中点，求直线 ADAD 与平面 MBCMBC 所成角的正弦值.

2014 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱锥 A−BCDA - BCD 中，AB⊥AB \perp 平面 BCDBCD，CD⊥BDCD \perp BD.
(1) 求证：CD⊥CD \perp 平面 ABDABD； (2) 若 AB=BD=CD=1AB = BD = CD = 1，MM 为 ADAD 中点，求三棱锥 A−MBCA - MBC 的体积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 AB⊥AB\perp 平面 BCDBCD，且 CDCD 在平面 BCDBCD 内，所以 AB⊥CDAB\perp CD. 题设又给出 BD⊥CDBD\perp CD，而 ABAB 与 BDBD 是平面 ABDABD 内相交的两条直线. 因此由直线与平面垂直的判定定理，CD⊥CD\perp 平面 ABDABD. \item 建立空间直角坐标系，取 B=(0,0,0)B=(0,0,0)、D=(1,0,0)D=(1,0,0)、C=(1,1,0)C=(1,1,0)、A=(0,0,1)A=(0,0,1)，则条件 AB⊥AB\perp 平面 BCDBCD、AB=BD=CD=1AB=BD=CD=1 均满足. 因为 MM 是 ADAD 的中点，所以 M=(12,0,12)M=\left(\frac12,0,\frac12\right). 于是 AM→=(12,0,−12)\overrightarrow{AM}=\left(\frac12,0,-\frac12\right)，AB→=(0,0,−1)\overrightarrow{AB}=(0,0,-1)，AC→=(1,1,−1)\overrightarrow{AC}=(1,1,-1). 计算得 AB→×AC→=(1,−1,0)\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,-1,0)，从而 VA−MBC=16∣AM→⋅(AB→×AC→)∣=16×12=112V_{A-MBC}=\frac16\left|\overrightarrow{AM}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\right|=\frac16\times\frac12=\frac1{12}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图，侧视图，俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 22 的正方形，则该球的表面积是______.

2013 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，AB∥DCAB \parallel DC，AB⊥ADAB \perp AD，BC=5BC = 5，DC=3DC = 3，AD=4AD = 4，∠PAD=60∘\angle PAD = 60^\circ.
(1) 当正视方向与向量 AD→\overrightarrow{AD} 的方向相同时，画出四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的正视图 （要求标出尺寸，并写出演算过程）； (2) 若 MM 为 PAPA 的中点，求证： DM∥DM \parallel 平面 PBCPBC； (3) 求三棱锥 D−PBCD-PBC 的体积.

2013 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=AD=1AA_{1} = AD = 1，EE 为 CDCD 的中点.
(1) 求证：B1E⊥AD1B_{1}E \perp AD_{1}； (2) 在棱 AA1AA_{1} 上是否存在一点 PP，使得 DP∥DP \parallel 平面 B1AEB_{1}AE？若存在，求 APAP 的长；若不存在，请说明理由； (3) 若二面角 A−B1E−A1A-B_{1}E-A_{1} 的大小为 30∘30^{\circ}，求 ABAB 的长.

2012 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=AD=1AB = AD = 1，AA1=2AA_{1} = 2，MM 为棱 DD1DD_{1} 上的一点.
(1) 求三棱锥 A−MCC1A - MCC_{1} 的体积； (2) 当 A1M+MCA_{1}M + MC 取得最小值时，求证： B1M⊥B_{1}M \perp 平面 MACMAC.

2012 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=2AB = 2，点 EE 为 ADAD 的中点，点 FF 在 CDCD 上，
若 EF∥EF \parallel 平面 AB1CAB_{1}C，则线段 EFEF 的长度等于______.

2011 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ADAB \perp AD，点 EE 在线段 ADAD 上，且 CE∥ABCE \parallel AB.
(1) 求证：CE⊥CE \perp 平面 PADPAD； (2) 若 PA=AB=1PA = AB = 1，AD=3AD = 3，CD=2CD = \sqrt{2}，∠CDA=45∘\angle CDA = 45^{\circ}，求四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的体积.

2011 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
设 mm，nn 是平面 α\alpha 内的两条不同直线，l1l_{1}，l2l_{2} 是平面 β\beta 内的两条相交直线，则 α∥β\alpha\parallel\beta 的一个充分而不必要条件是（ ）
\begin{solution} 若m∥l1m\parallel l_1且n∥l2n\parallel l_2，则mm与nn的方向分别平行于平面β\beta内相交直线l1l_1与l2l_2的方向.由于mm，nn在平面α\alpha内且方向不同，平面α\alpha的两个方向均与平面β\beta的两个方向平行，从而α\alpha与β\beta平行.因此 B 是充分条件.
它不是必要条件.例如两平面平行时，可以在α\alpha内任取两条不同直线mm，nn，它们未必分别平行于指定的l1l_1，l2l_2.所以该条件充分而不必要，选 B. \end{solution}
A.
m∥βm\parallel\beta 且 l1∥αl_{1}\parallel\alpha
B.
m∥l1m\parallel l_{1} 且 n∥l2n\parallel l_{2}
C.
m∥βm\parallel\beta 且 n∥βn\parallel\beta
D.
m∥βm\parallel\beta 且 n∥l2n\parallel l_{2}

2009 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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