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1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 523\frac{52}{3}，AB=6AB=6，A1B1=2A_1B_1=2，则 A1AA_1A 与平面 ABCABC 所成角的正切值为（ ）
A.
12\frac12
B.
11
C.
22
D.
33

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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096分立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 PP，底面圆心为 OO，ABAB 为底面直径，∠APB=120∘\angle APB=120^\circ，PA=2PA=2，点 CC 在底面圆周上，且二面角 P−AC−OP-AC-O 为 45∘45^\circ，则（ ）
A.
该圆锥的体积为 π\pi
B.
该圆锥的侧面积为 43π4\sqrt3\pi
C.
AC=22AC=2\sqrt2
D.
△PAC\triangle PAC 的面积为 3\sqrt3

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 9 题 · 多选题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台的高为 1，上，下底面边长分别为 333\sqrt3 和 434\sqrt3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A.
100π100\pi
B.
128π128\pi
C.
144π144\pi
D.
192π192\pi

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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116分立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，ED⊥平面 ABCDED\perp\text{平面 }ABCD，FB∥EDFB\parallel ED，AB=ED=2FBAB=ED=2FB. 记三棱锥 E−ACDE-ACD，F−ABCF-ABC，F−ACEF-ACE 的体积分别为 V1V_1，V2V_2，V3V_3，则（ ）
A.
V3=2V2V_3=2V_2
B.
V3=V1V_3=V_1
C.
V3=V1+V2V_3=V_1+V_2
D.
2V3=3V12V_3=3V_1

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

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045分立体几何初步★★★☆☆
北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果. 在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000 km36000\text{ km}（轨道高度是指卫星到地球表面的最短距离）. 把地球看成是一个球心为 OO，半径 rr 为 6400 km6400\text{ km} 的球，其上点 AA 的纬度是指 OAOA 与赤道平面所成角的度数. 地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度最大值记为 α\alpha，该卫星信号覆盖地球表面的表面积为 S=2πr2(1−cos⁡α)S=2\pi r^2\left( 1-\cos \alpha \right)（单位：km2\text{km}^2），则 SS 占地球表面积的百分比约为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
26%26\%
B.
34%34\%
C.
42%42\%
D.
50%50\%

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 4 题 · 选择题

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106分立体几何初步★★★☆☆
如图，下列各正方体中，OO 为下底面的中心，PP 为所在棱的中点，MM，NN 为正方体的顶点. 则满足 MN⊥OPMN\perp OP 的是（ ）
\begin{answer} BC \end{answer}
A.
B.
C.
D.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 10 题 · 多选题

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07立体几何初步★★★☆☆
如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 MM，在俯视图中对应的点为 NN，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A.
EE
B.
FF
C.
GG
D.
HH

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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11立体几何初步★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 是面积为 934\dfrac{9\sqrt3}{4} 的等边三角形，且其顶点都在球 OO 的球面上. 若球 OO 的表面积为 16π16\pi，则 OO 到平面 ABCABC 的距离为（ ）
A.
3\sqrt3
B.
32\dfrac{3}{2}
C.
11
D.
32\dfrac{\sqrt3}{2}

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCDABCD 是正方形，点 EE 在棱 AA1AA_1 上，BE⊥EC1BE\perp EC_1.
(1) 证明：BE⊥BE\perp 平面 EB1C1EB_1C_1； (2) 若 AE=A1EAE=A_1E，AB=3AB=3，求四棱锥 E−BB1C1CE-BB_1C_1C 的体积.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 SS，母线 SASA，SBSB 所成角的余弦值为 78\dfrac78，SASA 与圆锥底面所成角为 45∘45^\circ，若 △SAB\triangle SAB 的面积为 5155\sqrt{15}，则该圆锥的侧面积为______.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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09立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为棱 CC1CC_1 的中点，则异面直线 AEAE 与 CDCD 所成角的正切值为（ ）.
A.
22\dfrac{\sqrt2}{2}
B.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
C.
52\dfrac{\sqrt5}{2}
D.
72\dfrac{\sqrt7}{2}

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 SS，母线 SASA，SBSB 互相垂直，SASA 与圆锥底面所成角为 30∘30^\circ，若 △SAB\triangle SAB 的面积为 88，则该圆锥的体积为______.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，AB=BC=22AB=BC=2\sqrt2，PA=PB=PC=AC=4PA=PB=PC=AC=4，OO 为 ACAC 的中点.
(1) 证明：PO⊥PO\perp 平面 ABCABC； (2) 若点 MM 在棱 BCBC 上，且 MC=2MBMC=2MB，求点 CC 到平面 POMPOM 的距离.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 和 △BCD\triangle BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2AB = BC = BD = 2，∠ABC=∠DBC=120∘\angle ABC = \angle DBC = 120^{\circ}，EE，FF 分别为 ACAC，DCDC 的中点.
(1) 求证：EF⊥BCEF \perp BC； (2) 求二面角 E−BF−CE - BF - C 的正弦值.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
8−π48 - \frac{\pi}{4}
B.
8−π28 - \frac{\pi}{2}
C.
8−π8 - \pi
D.
8−2π8 - 2\pi

2014 · 辽宁 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 和 △BCD\triangle BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2AB = BC = BD = 2，∠ABC=∠DBC=120∘\angle ABC = \angle DBC = 120^{\circ}，EE，FF，GG 分别为 ACAC，DCDC，ADAD 的中点. 附：锥体的体积公式 V=13ShV = \frac{1}{3} Sh，其中 SS 为底面面积，hh 为高.
(1) 求证：EF⊥EF \perp 平面 BCGBCG； (2) 求三棱锥 D−BCGD - BCG 的体积.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的 66 个顶点都在球 OO 的球面上. 若 AB=3AB = 3，AC=4AC = 4，AB⊥ACAB \perp AC，AA1=12AA_1 = 12，则球 OO 的半径为（ ）
A.
3172\frac{3\sqrt{17}}{2}
B.
2102\sqrt{10}
C.
132\frac{13}{2}
D.
3103\sqrt{10}

2013 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，ABAB 是圆的直径，PAPA 垂直圆所在的平面，CC 是圆上的点.
(1) 求证：平面 PAC⊥PBCPAC \perp PBC； (2) 若 AB=2AB = 2，AC=1AC = 1，PA=1PA = 1，求二面角 C−PB−AC - PB - A 的余弦值.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 的 66 个顶点都在球 OO 的球面上. 若 AB=3AB = 3，AC=4AC = 4，AB⊥ACAB \perp AC，AA1=12AA_{1} = 12，则球 OO 的半径为（ ）
A.
3172\frac{3\sqrt{17}}{2}
B.
2102\sqrt{10}
C.
132\frac{13}{2}
D.
3103\sqrt{10}

2013 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
(1) 如图，ABAB 是圆的直径，PAPA 垂直圆所在的平面，CC 是圆上的点. 求证：BC⊥BC \perp 平面 PACPAC； (2) 设 QQ 为 PAPA 的中点，GG 为 △AOC\triangle AOC 的重心，求证：QG∥QG\parallel 平面 PBCPBC.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A′B′C′ABC - A'B'C'，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，AB=AC=λAA′AB = AC = \lambda AA'，点 MM，NN 分别为 A′BA'B 和 B′C′B'C' 的中点.
(1) 证明：MN∥MN \parallel 平面 A′ACC′A'ACC'. (2) 若二面角 A′−MN−CA' - MN - C 为直二面角，求 λ\lambda 的值.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A′B′C′ABC - A'B'C'，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，AB=AC=2AB = AC = \sqrt{2}，AA′=1AA' = 1，点 MM，NN 分别为 A′BA'B 和 B′C′B'C' 的中点.
(1) 证明： MN∥MN \parallel 平面 A′ACC′A'ACC'； (2) 求三棱锥 A′−MNCA' - MNC 的体积. （锥体体积公式 V=13ShV = \frac{1}{3} Sh，其中 SS 为底面积，hh 为高）

2012 · 辽宁 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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