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1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 523\frac{52}{3}，AB=6AB=6，A1B1=2A_1B_1=2，则 A1AA_1A 与平面 ABCABC 所成角的正切值为（ ）
A.
12\frac12
B.
11
C.
22
D.
33

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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096分立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 PP，底面圆心为 OO，ABAB 为底面直径，∠APB=120∘\angle APB=120^\circ，PA=2PA=2，点 CC 在底面圆周上，且二面角 P−AC−OP-AC-O 为 45∘45^\circ，则（ ）
A.
该圆锥的体积为 π\pi
B.
该圆锥的侧面积为 43π4\sqrt3\pi
C.
AC=22AC=2\sqrt2
D.
△PAC\triangle PAC 的面积为 3\sqrt3

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 9 题 · 多选题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台的高为 1，上，下底面边长分别为 333\sqrt3 和 434\sqrt3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A.
100π100\pi
B.
128π128\pi
C.
144π144\pi
D.
192π192\pi

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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116分立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，ED⊥平面 ABCDED\perp\text{平面 }ABCD，FB∥EDFB\parallel ED，AB=ED=2FBAB=ED=2FB. 记三棱锥 E−ACDE-ACD，F−ABCF-ABC，F−ACEF-ACE 的体积分别为 V1V_1，V2V_2，V3V_3，则（ ）
A.
V3=2V2V_3=2V_2
B.
V3=V1V_3=V_1
C.
V3=V1+V2V_3=V_1+V_2
D.
2V3=3V12V_3=3V_1

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

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045分立体几何初步★★★☆☆
北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果. 在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000 km36000\text{ km}（轨道高度是指卫星到地球表面的最短距离）. 把地球看成是一个球心为 OO，半径 rr 为 6400 km6400\text{ km} 的球，其上点 AA 的纬度是指 OAOA 与赤道平面所成角的度数. 地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度最大值记为 α\alpha，该卫星信号覆盖地球表面的表面积为 S=2πr2(1−cos⁡α)S=2\pi r^2\left( 1-\cos \alpha \right)（单位：km2\text{km}^2），则 SS 占地球表面积的百分比约为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
26%26\%
B.
34%34\%
C.
42%42\%
D.
50%50\%

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 4 题 · 选择题

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106分立体几何初步★★★☆☆
如图，下列各正方体中，OO 为下底面的中心，PP 为所在棱的中点，MM，NN 为正方体的顶点. 则满足 MN⊥OPMN\perp OP 的是（ ）
\begin{answer} BC \end{answer}
A.
B.
C.
D.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 10 题 · 多选题

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07立体几何初步★★★☆☆
如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 MM，在俯视图中对应的点为 NN，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A.
EE
B.
FF
C.
GG
D.
HH

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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11立体几何初步★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 是面积为 934\dfrac{9\sqrt3}{4} 的等边三角形，且其顶点都在球 OO 的球面上. 若球 OO 的表面积为 16π16\pi，则 OO 到平面 ABCABC 的距离为（ ）
A.
3\sqrt3
B.
32\dfrac{3}{2}
C.
11
D.
32\dfrac{\sqrt3}{2}

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCDABCD 是正方形，点 EE 在棱 AA1AA_1 上，BE⊥EC1BE\perp EC_1.
(1) 证明：BE⊥BE\perp 平面 EB1C1EB_1C_1； (2) 若 AE=A1EAE=A_1E，AB=3AB=3，求四棱锥 E−BB1C1CE-BB_1C_1C 的体积.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 SS，母线 SASA，SBSB 所成角的余弦值为 78\dfrac78，SASA 与圆锥底面所成角为 45∘45^\circ，若 △SAB\triangle SAB 的面积为 5155\sqrt{15}，则该圆锥的侧面积为______.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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09立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为棱 CC1CC_1 的中点，则异面直线 AEAE 与 CDCD 所成角的正切值为（ ）.
A.
22\dfrac{\sqrt2}{2}
B.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
C.
52\dfrac{\sqrt5}{2}
D.
72\dfrac{\sqrt7}{2}

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 SS，母线 SASA，SBSB 互相垂直，SASA 与圆锥底面所成角为 30∘30^\circ，若 △SAB\triangle SAB 的面积为 88，则该圆锥的体积为______.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，AB=BC=22AB=BC=2\sqrt2，PA=PB=PC=AC=4PA=PB=PC=AC=4，OO 为 ACAC 的中点.
(1) 证明：PO⊥PO\perp 平面 ABCABC； (2) 若点 MM 在棱 BCBC 上，且 MC=2MBMC=2MB，求点 CC 到平面 POMPOM 的距离.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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05立体几何初步★★★☆☆
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
13+2π\frac{1}{3} + 2\pi
B.
13π6\frac{13\pi}{6}
C.
7π3\frac{7\pi}{3}
D.
5π2\frac{5\pi}{2}

2015 · 重庆 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
12
B.
18
C.
24
D.
30

2014 · 重庆 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面是以 OO 为中心的菱形，PO⊥PO \perp 底面 ABCDABCD，AB=2AB = 2，∠BAD=π3\angle BAD = \frac{\pi}{3}，MM 为 BCBC 上一点，且 BM=12BM = \frac{1}{2}.
(1) 证明：BC⊥BC \perp 平面 POMPOM； (2) 若 MP⊥APMP \perp AP，求四棱锥 P−ABMOP - ABMO 的体积.

2014 · 重庆 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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08立体几何初步★★★☆☆
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由三视图可还原出一个直四棱柱，其底面是高为 44、上底为 22、下底为 88 的等腰梯形，棱柱的高为 1010. 梯形两腰的水平投影均为
8−22=3\frac{8-2}{2}=3
所以腰长为
42+32=5\sqrt{4^2+3^2}=5
底面梯形面积为
2+82×4=20\frac{2+8}{2}\times4=20
四个侧面的面积和为
10(2+8+5+5)=20010(2+8+5+5)=200
因此几何体的表面积为
2×20+200=2402\times20+200=240
选 D. \end{solution}
A.
180180
B.
200200
C.
220220
D.
240240

2013 · 重庆 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，PA=23PA = 2\sqrt{3}，BC=CD=2BC = CD = 2，∠ACB=∠ACD=π3\angle ACB = \angle ACD = \frac{\pi}{3}.
(1) 求证： BD⊥BD \perp 平面 PAC； (2) 若侧棱 PCPC 上的点 FF 满足 PF=7FCPF = 7FC，求三棱锥 P−BDFP - BDF 的体积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在等腰三角形 BCDBCD 中，BC=CDBC=CD，且 ACAC 平分顶角 ∠BCD\angle BCD，所以
AC⊥BDAC\perp BD
又因为 PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，而 BDBD 在底面内，所以 BD⊥PABD\perp PA. 直线 ACAC 与 PAPA 都在平面 PACPAC 内，且相交于 AA. 因为 BDBD 垂直于这两条相交直线，所以 BD⊥BD\perp 平面 PACPAC. \item 建立空间直角坐标系：取 CC 为原点，xx 轴沿 CACA，yy 轴沿底面内垂直于 CACA 的方向，zz 轴沿 APAP. 设 AC=mAC=m，则可取 C=(0,0,0)C=(0,0,0)，A=(m,0,0)A=(m,0,0)，B=(1,3,0)B=(1,\sqrt3,0)，D=(1,−3,0)D=(1,-\sqrt3,0)，P=(m,0,23)P=(m,0,2\sqrt3). 其中 BB，DD 的坐标来自 BC=CD=2BC=CD=2 及 ∠ACB=∠ACD=π3\angle ACB=\angle ACD=\frac\pi3.
由 PF=7FCPF=7FC，得 PF:PC=7:8PF:PC=7:8，所以
PF→=78PC→\overrightarrow{PF}=\frac78\overrightarrow{PC}
于是
VP−BDF=16⋅78∣det⁡(1−m3−231−m−3−23−m0−23)∣=16⋅78×12=74V_{P-BDF} =\frac16\cdot\frac78 \left|\det\begin{pmatrix} 1-m&\sqrt3&-2\sqrt3\\ 1-m&-\sqrt3&-2\sqrt3\\ -m&0&-2\sqrt3 \end{pmatrix}\right| =\frac16\cdot\frac78\times12=\frac74
故三棱锥 P−BDFP-BDF 的体积为 74\frac74. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，PA=AB=6PA = AB = \sqrt{6}，点 EE 是棱 PBPB 的中点.
(1) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离； (2) 若 AD=3AD = \sqrt{3}，求二面角 A−EC−DA - EC - D 的平面角的余弦值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立如图所示的直角坐标系，设 s=6s=\sqrt{6}，AD=dAD=d，取 A(0,0,0)A(0,0,0)，B(s,0,0)B(s,0,0)，D(0,d,0)D(0,d,0)，C(s,d,0)C(s,d,0)，P(0,0,s)P(0,0,s). 由 EE 为 PBPB 的中点，得 E(s2,0,s2)E\left(\frac{s}{2},0,\frac{s}{2}\right). 平面 PBCPBC 的方程为 x+z=sx+z=s，直线 ADAD 的方向为 yy 轴方向，且与平面 PBCPBC 平行. 因此直线 ADAD 到平面 PBCPBC 的距离为 s12+12=62=3\frac{s}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}. \item 当 d=3d=\sqrt{3} 时，取平面 AECAEC 的两个方向向量 AC→=(s,d,0)\overrightarrow{AC}=(s,d,0)、AE→=(s2,0,s2)\overrightarrow{AE}=\left(\frac{s}{2},0,\frac{s}{2}\right)，取平面 DECDEC 的两个方向向量 DC→=(s,0,0)\overrightarrow{DC}=(s,0,0)、DE→=(s2,−d,s2)\overrightarrow{DE}=\left(\frac{s}{2},-d,\frac{s}{2}\right). 相应法向量可取 n1=(ds,−s2,−ds)\boldsymbol{n}_1=(ds,-s^2,-ds)、n2=(0,−s2,−2ds)\boldsymbol{n}_2=(0,-s^2,-2ds). 代入 s=6s=\sqrt{6}、d=3d=\sqrt{3}，得 n1=(32,−6,−32)\boldsymbol{n}_1=(3\sqrt{2},-6,-3\sqrt{2})、n2=(0,−6,−62)\boldsymbol{n}_2=(0,-6,-6\sqrt{2}). 所以二面角的平面角 α\alpha 满足 cos⁡α=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣=7272108=63\cos\alpha=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{72}{\sqrt{72}\sqrt{108}}=\frac{\sqrt{6}}{3}. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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09立体几何初步★★★☆☆
到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）
A.
只有 11 个
B.
恰有 33 个
C.
恰有 44 个
D.
有无穷多个

2010 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
如图，模块\circled1∼\circled5\circled{1}\sim\circled{5}均由 44 个棱长为 11 的小正方体构成，模块\circled6\circled{6}由 1515 个棱长为 11 的小正方体构成. 现从模块\circled1∼\circled5\circled{1}\sim\circled{5}中选出三个放到模块\circled6\circled{6}上，使得模块\circled6\circled{6}成为一个棱长为 33 的大正方体. 则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
A.
模块\circled1\circled2\circled5\circled{1}\circled{2}\circled{5}
B.
模块\circled1\circled3\circled5\circled{1}\circled{3}\circled{5}
C.
模块\circled2\circled4\circled6\circled{2}\circled{4}\circled{6}
D.
模块\circled3\circled4\circled5\circled{3}\circled{4}\circled{5}

2008 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=1AB = 1，BB1=3+1BB_{1} = \sqrt{3} + 1，EE 为 BB1BB_{1} 上使 B1E=1B_{1}E = 1 的点，平面 AEC1AEC_{1} 交 DD1DD_{1} 于 FF，交 A1D1A_{1}D_{1} 的延长线于 GG. 求：
(1) 异面直线 ADAD 与 C1GC_{1}G 所成角的大小； (2) 二面角 A−C1G−A1A - C_{1}G - A_{1} 的正切值.

2006 · 重庆 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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