如图, 在四棱锥 $P-ABCD$ 中, 底面 $ABCD$ 是边长为 $4$ 的正方形, $PA = PB = 4, PC = PD = 2\sqrt{2}$。该棱锥的高为 $(\quad)$

汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器, 其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 $10$ 的等比数列, 底面直径依次为 $65\text{ mm}, 325\text{ mm}, 325\text{ mm}$, 且斛量器的高为 $230\text{ mm}$, 则斗量器的高为 ______ $\text{mm}$, 升量器的高为 ______ $\text{mm}$。(不计量器的厚度)

已知正三棱锥 $P-ABC$ 的六条棱长均为 6, $S$ 是 $\triangle ABC$ 及其内部的点构成的集合, 设集合 $T = \{Q \in S \mid PQ \leqslant 5\}$, 则 $T$ 表示的区域的面积为 （ ）