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01高考真题4分集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={x∣2x−1>5}M = \{x \mid 2x - 1 > 5\}, N={1,2,3}N = \{1, 2, 3\}, 则 M∩N=M \cap N = （ ）
A.
{1,2,3}\{1, 2, 3\}
B.
{2,3}\{2, 3\}
C.
{3}\{3\}
D.
∅\varnothing

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02高考真题4分复数★☆☆☆☆
已知复数 zz 满足 i⋅z+2=2ii \cdot z + 2 = 2i, 则 ∣z∣=|z| = （ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
222\sqrt{2}
C.
44
D.
88

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03高考真题4分解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x2−4y2=4x^2 - 4y^2 = 4 的离心率为 （ ）
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
C.
54\frac{5}{4}
D.
5\sqrt{5}

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04高考真题4分指数函数与对数函数★★☆☆☆
为了得到函数 y=9xy = 9^x 的图象, 只需把函数 y=3xy = 3^x 的图象上所有点的 （ ）
A.
横坐标变为原来的 12\frac{1}{2} 倍(纵坐标不变)
B.
横坐标变为原来的 22 倍(纵坐标不变)
C.
纵坐标变为原来的 13\frac{1}{3} 倍(横坐标不变)
D.
纵坐标变为原来的 33 倍(横坐标不变)

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05高考真题4分数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列, a1=−2a_1 = -2, 若 a3,a4,a6a_3, a_4, a_6 成等比数列, 则 a10=a_{10} = （ ）
A.
−20-20
B.
−18-18
C.
1616
D.
1818

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06高考真题4分不等式★★☆☆☆
已知 a>0,b>0a > 0, b > 0, 则 （ ）
A.
a2+b2>2aba^2 + b^2 > 2ab
B.
1a+1b≥1ab\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{1}{ab}
C.
a+b>aba + b > \sqrt{ab}
D.
1a+1b≤2ab\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \le \frac{2}{\sqrt{ab}}

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07高考真题4分集合与逻辑基础★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD, 则"f(x)f(x) 的值域为 R\mathbb{R}"是"对任意 M∈RM \in \mathbb{R}, 存在 x0∈Dx_0 \in D, 使得 ∣f(x0)∣>M|f(x_0)| > M"的 （ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

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08高考真题4分三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡ωx+cos⁡ωxf(x) = \sin\omega x + \cos\omega x (ω>0\omega > 0), 若 f(x+π)=f(x)f(x + \pi) = f(x) 恒成立, 且 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 上存在零点, 则 ω\omega 的最小值为 （ ）
A.
88
B.
66
C.
44
D.
33

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09高考真题4分指数函数与对数函数★★★☆☆
在一定条件下, 某人工智能大语言模型训练 NN 个单位的数据量所需要的时间 T=klog⁡2NT = k\log_2 N (单位: h), 其中 kk 为常数。在此条件下, 已知训练数据量 NN 从 10610^6 个单位增加到 1.024×1091.024 \times 10^9 个单位时, 训练时间增加 2020 h; 当训练数据量 NN 从 1.024×1091.024 \times 10^9 个单位增加到 4.096×1094.096 \times 10^9 个单位时, 训练时间增加 （ ）
A.
22 h
B.
44 h
C.
2020 h
D.
4040 h

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10高考真题4分平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中, ∣OA→∣=∣OB→∣=2|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = \sqrt{2}, ∣AB→∣=2|\overrightarrow{AB}| = 2, 设 C(3,4)C(3, 4), 则 ∣2CA→+AB→∣|2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}| 的取值范围是 （ ）
A.
[6,14][6, 14]
B.
[6,12][6, 12]
C.
[8,14][8, 14]
D.
[8,12][8, 12]

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11高考真题5分解析几何★☆☆☆☆
已知抛物线 y2=2pxy^2 = 2px (p>0p > 0) 的顶点到焦点的距离为 33, 则 p=p =______。

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12高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (1−2x)4=a0−2a1x+4a2x2−8a3x3+16a4x4(1 - 2x)^4 = a_0 - 2a_1x + 4a_2x^2 - 8a_3x^3 + 16a_4x^4, 则 a0=a_0 =______; a1+a2+a3+a4=a_1 + a_2 + a_3 + a_4 =______。

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13高考真题5分三角函数★★☆☆☆
已知 α,β∈[0,2π]\alpha, \beta \in [0, 2\pi], 且 sin⁡(α+β)=sin⁡(α−β)\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha - \beta), cos⁡(α+β)≠cos⁡(α−β)\cos(\alpha + \beta) \ne \cos(\alpha - \beta)。写出满足条件的一组 α,β\alpha, \beta 的值 α=\alpha =______, β=\beta =______。

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14高考真题5分立体几何初步★★★★☆
某科技兴趣小组用 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体, 其中 ABCDEFABCDEF 是一个平面多边形, 平面 AFR⊥AFR \perp 平面 ABCABC, 平面 CDT⊥CDT \perp 平面 ABCABC, AB⊥BCAB \perp BC, AB∥EF∥RS∥CDAB \parallel EF \parallel RS \parallel CD, BC∥DE∥ST∥AFBC \parallel DE \parallel ST \parallel AF。若 AB=BC=8AB = BC = 8, AF=CD=4AF = CD = 4, RA=RF=TC=TD=52RA = RF = TC = TD = \frac{5}{2}, 则该多面体的体积为______。

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15高考真题5分函数与初等函数★★★★☆
关于定义域为 R\mathbb{R} 的函数 f(x)f(x), 给出下列四个结论:
① 存在在 R\mathbb{R} 上单调递增的函数 f(x)f(x) 使得 f(x)+f(2x)=−xf(x) + f(2x) = -x 恒成立;
② 存在在 R\mathbb{R} 上单调递减的函数 f(x)f(x) 使得 f(x)−f(2x)=xf(x) - f(2x) = x 恒成立;
③ 使得 f(x)+f(−x)=cos⁡xf(x) + f(-x) = \cos x 恒成立的函数 f(x)f(x) 存在且有无穷多个;
④ 使得 f(x)−f(−x)=cos⁡xf(x) - f(-x) = \cos x 恒成立的函数 f(x)f(x) 存在且有无穷多个。
其中正确结论的序号是______。

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16高考真题15分三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中, cos⁡A=−13\cos A = -\frac{1}{3}, asin⁡C=42a\sin C = 4\sqrt{2}。
(1) 求 cc 的值;
(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 △ABC\triangle ABC 存在, 求 BCBC 边上的高。
条件①: a=6a = 6; 条件②: asin⁡B=1023a\sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3}; 条件③: △ABC\triangle ABC 的面积为 10210\sqrt{2}。

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, △ADC\triangle ADC 与 △BAC\triangle BAC 均为等腰直角三角形, ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ, ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ, EE 为 BCBC 的中点。
(1) 若 F,GF, G 分别为 PD,PEPD, PE 的中点, 求证: FG∥FG \parallel 平面 PABPAB;
(2) 若 PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD, PA=ACPA = AC, 求直线 ABAB 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值。

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18高考真题17分概率与统计★★★☆☆
某次考试中, 只有一道单项选择题考查了某个知识点, 甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。为了解学生对该知识点的掌握情况, 随机抽查了甲、乙两校高一年级各 100100 名学生该题的答题数据, 其中甲校学生选择正确的人数为 8080, 乙校学生选择正确的人数为 7575。假设学生之间答题相互独立。用频率估计概率。
(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 pp;
(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取 11 名。设 XX 为这 22 名学生中该题选择正确的人数, 估计 X=1X = 1 的概率及 XX 的数学期望;
(3) 假设: 如果没有掌握该知识点, 学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案; 如果掌握该知识点, 甲校学生选择正确的概率为 100%100\%, 乙校学生选择正确的概率为 85%85\%。设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 p1,p2p_1, p_2, 判断 p1p_1 与 p2p_2 的大小。(结论不要求证明)

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19高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 椭圆 EE 上的点到两焦点的距离之和为 44。
(1) 求椭圆 EE 的方程;
(2) 设 OO 为坐标原点, 点 M(x0,y0)M(x_0, y_0) (x0≠0x_0 \ne 0) 在椭圆 EE 上, 直线 x0x+2y0y−4=0x_0x + 2y_0y - 4 = 0 与直线 y=2y = 2, y=−2y = -2 分别交于点 A,BA, B。设 △OAM\triangle OAM 和 △OBM\triangle OBM 的面积分别为 S1,S2S_1, S_2, 比较 S1S2\frac{S_1}{S_2} 与 ∣OA∣∣OB∣\frac{|OA|}{|OB|} 的大小。

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域是 (−1,+∞)(-1, +\infty), f(0)=0f(0) = 0, 导函数 f′(x)=ln⁡(1+x)1+xf'(x) = \frac{\ln(1 + x)}{1 + x}。设 l1l_1 是曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 A(a,f(a))A(a, f(a)) (a≠0a \ne 0) 处的切线。
(1) 求 f′(x)f'(x) 的最大值;
(2) 当 −1<a<0-1 < a < 0 时, 证明: 除切点 AA 外, 曲线 y=f(x)y = f(x) 在直线 l1l_1 的上方;
(3) 设过点 AA 的直线 l2l_2 与直线 l1l_1 垂直, l1,l2l_1, l_2 与 xx 轴交点的横坐标分别是 x1,x2x_1, x_2。若 a>0a > 0, 求 2a−x2−x1x2−x1\frac{2a - x_2 - x_1}{x_2 - x_1} 的取值范围。

2025北京卷 · 第 20 题 · 解答题

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21高考真题15分计数原理与组合数学★★★★★
已知集合 A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}, M={(x,y)∣x∈A,y∈A}M = \{(x, y) \mid x \in A, y \in A\}。从 MM 中选取 nn 个不同的元素组成一个序列: (x1,y1),(x2,y2),⋯ ,(xn,yn)(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n), 其中 (xi,yi)(x_i, y_i) 称为该序列的第 ii 项 (i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n), 若该序列的相邻项 (xi,yi),(xi+1,yi+1)(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1}) 满足 {∣xi+1−xi∣=3,∣yi+1−yi∣=4\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 3, \\ |y_{i+1} - y_i| = 4 \end{cases} 或 {∣xi+1−xi∣=4,∣yi+1−yi∣=3\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 4, \\ |y_{i+1} - y_i| = 3 \end{cases} (i=1,2,⋯ ,n−1i = 1, 2, \cdots, n-1), 则称该序列为 KK 列。
(1) 对于第 11 项为 (3,3)(3, 3) 的 KK 列, 写出它的第 22 项;
(2) 设 Γ\Gamma 为 KK 列, 且 Γ\Gamma 中的项 (xi,yi)(x_i, y_i) (i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n) 满足: 当 ii 为奇数时, xi∈{1,2,7,8}x_i \in \{1, 2, 7, 8\}; 当 ii 为偶数时, xi∈{3,4,5,6}x_i \in \{3, 4, 5, 6\}, 判断 (3,2)(3, 2), (4,4)(4, 4) 能否同时为 Γ\Gamma 中的项, 并说明理由;
(3) 证明: 由 MM 的全部元素组成的序列都不是 KK 列。

2025北京卷 · 第 21 题 · 解答题

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01高考真题5分集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={x∣−3<x<1}M = \{x \mid -3 < x < 1\}, N={x∣−1⩽x<4}N = \{x \mid -1 \leqslant x < 4\}, 则 M∪N=()M \cup N = (\quad)
A.
{x∣−1⩽x<1}\{x \mid -1 \leqslant x < 1\}
B.
{x∣x>−3}\{x \mid x > -3\}
C.
{x∣−3<x<4}\{x \mid -3 < x < 4\}
D.
{x∣x<4}\{x \mid x < 4\}

2024北京卷 · 第 1 题 · 选择题

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02高考真题5分复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 z⋅i=−1−iz \cdot i = -1 - i, 则 z=()z = (\quad)
A.
−1−i-1 - i
B.
−1+i-1 + i
C.
1−i1 - i
D.
1+i1 + i

2024北京卷 · 第 2 题 · 选择题

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03高考真题5分解析几何★★☆☆☆
圆 x2+y2−2x+6y=0x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 的圆心到直线 x−y+2=0x - y + 2 = 0 的距离为 ()(\quad)
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
33
D.
323\sqrt{2}

2024北京卷 · 第 3 题 · 选择题

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04高考真题5分计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−x)4(x - \sqrt{x})^4 的展开式中, x3x^3 的系数为 ()(\quad)
A.
66
B.
−6-6
C.
1212
D.
−12-12

2024北京卷 · 第 4 题 · 选择题

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