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11三角函数★★★☆☆
已知三角函数 f(t)=Asin⁡(ωt+φ)+Bf(t)=A\sin\left( \omega t+\varphi \right)+B（A>0A>0，B∈RB\in \mathbf{R}，ω>0\omega>0，0≤φ<2π0\le \varphi<2\pi），若 ν=f(t)\nu=f(t)，当 ν=0\nu=0 或 ν=4\nu=4 时其导数为 00，初始速度为 00，且速度第一次达到 44 时用时为 0.10.1 秒，则 f(t)=‾f(t)=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知 a>0a>0，函数 y=sin⁡xy=\sin x 在区间 [a,2a]\left[a,2a\right] 上的最小值为 ss，在区间 [2a,3a]\left[2a,3a\right] 上的最小值为 tt，当 aa 变化时，下列一定不成立的是（ ）.
A.
s>0,t>0s>0,t>0
B.
s>0s>0，t<0t<0
C.
s<0s<0，t<0t<0
D.
s<0s<0，t>0t>0

2023 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 a=3a=3，b=2cb=2c.
(1) 若 A=2π3A=\frac{2\pi}{3}，求 S△ABCS_{\triangle ABC}； (2) 若 2sin⁡B−sin⁡C=12\sin B-\sin C=1，求 C△ABCC_{\triangle ABC}.

2021 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡ωxf(x)=\sin\omega x，ω>0\omega>0.
(1) f(x)f(x) 的周期是 4π4\pi，求 ω\omega，并求 f(x)=12f(x)=\frac12 的解集； (2) 已知 ω=1\omega=1，g(x)=f2(x)+3 f(−x)f ⁣(π2−x)g(x)=f^2(x)+\sqrt3\,f(-x)f\!\left(\frac\pi2-x\right)，x∈[0,π4]x\in\left[0,\frac\pi4\right]，求 g(x)g(x) 的值域.

2020 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=asin⁡2x+2cos⁡2xf(x)=a\sin2x+2\cos^2x.
(1) 若 f(x)f(x) 为偶函数，求 aa 的值； (2) 若 f(π4)=3+1f\left(\frac\pi4\right)=\sqrt3+1，求方程 f(x)=1−2f(x)=1-\sqrt2 在区间 [−π,π][-\pi,\pi] 上的解.

2018 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2x−sin⁡2x+12f(x)=\cos^2x-\sin^2x+\dfrac12，x∈(0,π)x\in(0,\pi).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 设 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，角 AA 所对边 a=19a=\sqrt{19}，角 BB 所对边 b=5b=5. 若 f(A)=0f(A)=0，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2017 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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07三角函数★★★☆☆
方程 3sin⁡x=1+cos⁡2x3\sin x=1+\cos2x 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上的解为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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12三角函数★★★☆☆
方程 sin⁡x+3cos⁡x=1\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1 在区间 [0,2π][0, 2\pi] 上的所有解的和等于______.
\begin{answer} 7π3\frac{7\pi}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由辅助角公式，sin⁡x+3cos⁡x=2sin⁡(x+π3)\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)，故方程等价于 sin⁡(x+π3)=12\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)=\dfrac12. 令 t=x+π3t=x+\dfrac\pi3，则 t∈[π3,7π3]t\in\left[\dfrac\pi3,\dfrac{7\pi}3\right]. 在此区间内，只有 t=5π6t=\dfrac{5\pi}6 和 t=13π6t=\dfrac{13\pi}6 满足正弦值为 12\dfrac12，所以 x=π2x=\dfrac\pi2 或 x=11π6x=\dfrac{11\pi}6. 所有解的和为 π2+11π6=7π3\dfrac\pi2+\dfrac{11\pi}6=\dfrac{7\pi}3. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 sin⁡2A+sin⁡2B<sin⁡2C\sin^2 A + \sin^2 B < \sin^2 C，则 △ABC\triangle ABC 的形状是（ ）
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
不能确定

2012 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 sin⁡2A+sin⁡2B<sin⁡2C\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C，则 △ABC\triangle ABC 的形状是（ ）
A.
钝角三角形
B.
直角三角形
C.
锐角三角形
D.
不能确定

2012 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
函数 y=sin⁡(π2+x)cos⁡(π6−x)y = \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right) 的最大值为______.

2011 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是 113\frac{1}{13}，111\frac{1}{11}，15\frac{1}{5}，则此人将（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设三角形面积为 Δ\Delta，三条高分别为 hah_a，hbh_b，hch_c，对应边分别为 aa，bb，cc. 由 Δ=12aha=12bhb=12chc\Delta=\frac12ah_a=\frac12bh_b=\frac12ch_c，得边长之比为
a:b:c=1ha:1hb:1hc=13:11:5a:b:c=\frac1{h_a}:\frac1{h_b}:\frac1{h_c}=13:11:5
因为 11+5>1311+5>13，这三个数能作成三角形. 其中最长边为 1313，且
132=169>112+52=14613^2=169>11^2+5^2=146
由余弦定理的逆定理，最长边所对的角为钝角，所以应作出一个钝角三角形，选 D. \end{solution}
A.
不能作出满足要求的三角形
B.
作出一个锐角三角形
C.
作出一个直角三角形
D.
作出一个钝角三角形

2010 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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19指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，化简：lg⁡(cos⁡x⋅tan⁡x+1−2sin⁡2x2)+lg⁡[2cos⁡(x−π4)]−lg⁡(1+sin⁡2x)\lg\left(\cos x \cdot \tan x + 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) + \lg\left[\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right] - \lg(1 + \sin 2x).

2010 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，设向量 m=(a,b)\boldsymbol{m} = (a, b)，n=(sin⁡B,sin⁡A)\boldsymbol{n} = (\sin B, \sin A)，p=(b−2,a−2)\boldsymbol{p} = (b - 2, a - 2).
(1) 若 m∥n\boldsymbol{m} \parallel \boldsymbol{n}，求证：△ABC\triangle ABC 为等腰三角形； (2) 若 m⊥p\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{p}，边长 c=2c = 2，角 C=π3C = \frac{\pi}{3}，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2009 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120∘120^{\circ} 的扇形 AOBAOB. 小区的两个出入口设置在点 AA 及点 CC 处，且小区里有一条平行于 BOBO 的小路 CDCD，已知某人从 CC 沿 CDCD 走到 DD 用了 1010 分钟，从 DD 沿 DADA 走到 AA 用了 66 分钟，若此人步行的速度为每分钟 5050 米，求该扇形的半径 OAOA 的长. （精确到 11 米）

2008 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x，g(x)=cos⁡(2x+π6)g(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right). 直线 x=tx=t（t∈Rt\in\mathbf{R}）与函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的图象分别交于 MM，NN 两点.
(1) 当 t=π4t = \frac{\pi}{4} 时，求 ∣MN∣|MN| 的值； (2) 求 ∣MN∣\left|MN\right| 在 t∈[0,π2]t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时的最大值.

2008 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOCAOC. 小区的两个出入口设置在点 AA 及点 CC 处，小区里有两条笔直的小路 ADAD，DCDC，且拐弯处的转角为 120∘120^{\circ}. 已知某人从 CC 沿 CDCD 走到 DD 用了 10 分钟10\text{ 分钟}，从 DD 沿 DADA 走到 AA 用了 6 分钟6\text{ 分钟}. 若此人步行的速度为每分钟 50 米50\text{ 米}，求该扇形的半径 OAOA 的长.（精确到 1 米1\text{ 米}）

2008 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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11解析几何★★★☆☆
已知 PP 为圆 x2+(y−1)2=1x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 上任意一点（原点 OO 除外），直线 OPOP 的倾斜角为 θ\theta 弧度，记 d=∣OP∣d = |OP|. 在右侧的坐标系中，画出以 (θ,d)(\theta, d) 为坐标的点的轨迹的大致图形为______.

2007 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别是三个内角 AA，BB，CC 的对边. 若 a=2a = 2，C=π4C = \frac{\pi}{4}，cos⁡B2=255\cos \frac{B}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}，求 △ABC\triangle ABC 的面积 SS.

2007 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别是三个内角 AA，BB，CC 的对边. 若 a=2a = 2，C=π4C = \frac{\pi}{4}，cos⁡B2=255\cos \frac{B}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}，求 △ABC\triangle ABC 的面积 SS.

2007 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
如图，当甲船位于 AA 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里20\text{ 海里} 的 BB 处有一艘渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30∘30^{\circ}，相距 10 海里10\text{ 海里} 的 CC 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 BB 处救援. （角度精确到 1∘1^{\circ}）

2006 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
如图，当甲船位于 AA 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里20\text{ 海里} 的 BB 处有一艘渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30∘30^{\circ}，相距 10 海里10\text{ 海里} CC 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 BB 处救援？（角度精确到 1∘1^{\circ}）

2006 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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10三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+2∣sin⁡x∣f(x) = \sin x + 2|\sin x|，x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] 的图象与直线 y=ky = k 有且仅有两个不同的交点，则 kk 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+2∣sin⁡x∣f(x)=\sin x+2|\sin x|，x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 的图象与直线 y=ky=k 有且仅有两个不同的交点，则 kk 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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