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075分三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha 为第二象限角，3sin⁡2αcos⁡α=8sin⁡αcos⁡2α3\sin 2\alpha \cos \alpha=8\sin \alpha \cos 2\alpha，则 1+sin⁡α2−cos⁡α=\frac{1+\sin \alpha}{2-\cos \alpha}=（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
35\frac{3}{5}
C.
12\frac{1}{2}
D.
512\frac{5}{12}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 7 题 · 选择题

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1513分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x)=\cos(2x+\varphi)（0≤φ<π0\le \varphi<\pi），且 f(0)=12f(0)=\frac12.
(1) 求 φ\varphi； (2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)，求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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11三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中内角 AA，BB，CC 所对边分别为 aa，bb，cc，若 B=π3B=\dfrac{\pi}{3}，b2=94acb^2=\dfrac{9}{4}ac，则 sin⁡A+sin⁡C=\sin A+\sin C=（ ）
A.
32\dfrac{3}{2}
B.
2\sqrt{2}
C.
72\dfrac{\sqrt{7}}{2}
D.
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 B=60∘B=60^\circ，b2=94acb^2=\dfrac94ac，则 sin⁡A+sin⁡C=\sin A+\sin C=（ ）
A.
32\dfrac32
B.
2\sqrt2
C.
72\dfrac{\sqrt7}{2}
D.
32\dfrac{\sqrt3}{2}

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠BAC=60∘\angle BAC=60^\circ，AB=2AB=2，BC=6BC=\sqrt{6}，∠BAC\angle BAC 的角平分线交 BCBC 于 DD，则 AD=AD=______.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 b2+c2−a2cos⁡A=2\dfrac{b^2+c^2-a^2}{\cos A}=2.
(1) 求 bcbc； (2) 若 acos⁡B−bcos⁡Aacos⁡B+bcos⁡A−bc=1\dfrac{a\cos B-b\cos A}{a\cos B+b\cos A}-\dfrac{b}{c}=1，求 △ABC\triangle ABC 面积.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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08三角函数★★★☆☆
2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.868848.86（单位：m\mathrm{m}），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 AA，BB，CC 三点，且 AA，BB，CC 在同一水平面上的投影 A′A'，B′B'，C′C' 满足 ∠A′C′B′=45∘\angle A'C'B'=45^\circ，∠A′B′C′=60∘\angle A'B'C'=60^\circ. 由 CC 点测得 BB 点的仰角为 15∘15^\circ，BB′BB' 与 CC′CC' 的差为 100100；由 BB 点测得 AA 点的仰角为 45∘45^\circ，则 AA，CC 两点到水平面 A′B′C′A'B'C' 的高度差 AA′−CC′AA'-CC' 约为（3≈1.732\sqrt{3}\approx 1.732）（ ）
A.
346346
B.
373373
C.
446446
D.
473473

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
若 α∈(0,π2)\alpha\in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)，tan⁡2α=cos⁡α2−sin⁡α\tan 2\alpha=\dfrac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}，则 tan⁡α=\tan \alpha=（ ）
A.
1515\dfrac{\sqrt{15}}{15}
B.
55\dfrac{\sqrt{5}}{5}
C.
53\dfrac{\sqrt{5}}{3}
D.
153\dfrac{\sqrt{15}}{3}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
若 α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)，tan⁡2α=cos⁡α2−sin⁡α\tan 2\alpha=\frac{\cos\alpha}{2-\sin\alpha}，则 tan⁡α=\tan\alpha=（ ）
A.
1515\frac{\sqrt{15}}{15}
B.
55\frac{\sqrt{5}}{5}
C.
53\frac{\sqrt{5}}{3}
D.
153\frac{\sqrt{15}}{3}

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡x+1sin⁡xf(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x} 有如下四个命题：
① f(x)f(x) 的图象关于 yy 轴对称； ② f(x)f(x) 的图象关于原点对称； ③ f(x)f(x) 的图象关于直线 x=π2x=\dfrac{\pi}{2} 对称； ④ f(x)f(x) 的最小值为 22.
其中所有真命题的序号是______.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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11三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，cos⁡C=23\cos C=\dfrac{2}{3}，AC=4AC=4，BC=3BC=3，则 tan⁡B=\tan B=（ ）
A.
5\sqrt5
B.
252\sqrt5
C.
454\sqrt5
D.
858\sqrt5

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡x+1sin⁡xf(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x}，则（ ）
A.
f(x)f(x) 的最小值为 22
B.
f(x)f(x) 的图象关于 yy 轴对称
C.
f(x)f(x) 的图象关于直线 x=πx=\pi 对称
D.
f(x)f(x) 的图象关于直线 x=π2x=\dfrac{\pi}{2} 对称

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A+C2=bsin⁡Aa\sin\dfrac{A+C}{2}=b\sin A.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，且 c=1c=1，求 △ABC\triangle ABC 面积的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A+C2=bsin⁡Aa\sin\frac{A+C}{2}=b\sin A.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，且 c=1c=1，求 △ABC\triangle ABC 面积的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，且 cos⁡Aa+cos⁡Bb=sin⁡Cc\dfrac{\cos A}{a}+\dfrac{\cos B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}.
(1) 证明：sin⁡Asin⁡B=sin⁡C\sin A\sin B=\sin C； (2) 若 b2+c2−a2=65bcb^2+c^2-a^2=\dfrac65bc，求 tan⁡B\tan B.

2016 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，且 cos⁡Aa+cos⁡Bb=sin⁡Cc\dfrac{\cos A}{a}+\dfrac{\cos B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}.
(1) 证明：sin⁡Asin⁡B=sin⁡C\sin A\sin B=\sin C； (2) 若 b2+c2−a2=65bcb^2+c^2-a^2=\dfrac65bc，求 tan⁡B\tan B.

2016 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(3x+π4)f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{4}\right).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 若 α\alpha 是第二象限角，f(α3)=45cos⁡(α+π4)cos⁡2αf\left(\frac{\alpha}{3}\right) = \frac{4}{5}\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos 2\alpha，求 cos⁡α−sin⁡α\cos \alpha - \sin \alpha 的值.

2014 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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08三角函数★★★☆☆
如图，从气球 AA 上测得正前方的河流的两岸 BB，CC 的俯角分别为 75∘75^{\circ}，30∘30^{\circ}，此时气球的高是 60 m60 \mathrm{~m}，则河流的宽度 BCBC 等于（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设 AA 在地面上的垂足为 DD，则 AD=60 mAD=60\mathrm{~m}. 由俯角等于相应的仰角，在直角三角形 ADBADB，ADCADC 中分别有 DB=60tan⁡15∘DB=60\tan15^{\circ}，DC=60tan⁡60∘DC=60\tan60^{\circ}. 又 tan⁡15∘=tan⁡(45∘−30∘)=2−3\tan15^{\circ}=\tan(45^{\circ}-30^{\circ})=2-\sqrt3，故
BC=DC−DB=603−60(2−3)=120(3−1) mBC=DC-DB=60\sqrt3-60(2-\sqrt3)=120(\sqrt3-1)\mathrm{~m}
因此河流宽度对应选项 C. \end{solution}
A.
240(3−1) m240(\sqrt{3} - 1)\mathrm{\,m}
B.
180(2−1) m180(\sqrt{2} - 1)\mathrm{\,m}
C.
120(3−1) m120(\sqrt{3} - 1)\mathrm{\,m}
D.
30(3+1) m30(\sqrt{3} + 1)\mathrm{\,m}

2014 · 四川 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(3x+π4)f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{4}\right).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 若 α\alpha 是第二象限角，f(α3)=45cos⁡(α+π4)cos⁡2αf\left(\frac{\alpha}{3}\right) = \frac{4}{5}\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos 2\alpha，求 cos⁡α−sin⁡α\cos \alpha - \sin \alpha 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item y=sin⁡ty=\sin t 在区间 [−π2+2kπ,π2+2kπ]\left[-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi\right] 上单调递增. 令 t=3x+π4t=3x+\frac\pi4，则 −π2+2kπ⩽3x+π4⩽π2+2kπ-\frac\pi2+2k\pi\leqslant3x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z}. 解得 [2kπ3−π4,2kπ3+π12]\left[\frac{2k\pi}{3}-\frac\pi4,\frac{2k\pi}{3}+\frac\pi{12}\right]，k∈Zk\in\mathbf{Z}，这就是 f(x)f(x) 的单调递增区间. \item 因为 f(α3)=sin⁡(α+π4)f\left(\frac\alpha3\right)=\sin\left(\alpha+\frac\pi4\right)，设 u=sin⁡α+cos⁡αu=\sin\alpha+\cos\alpha，v=cos⁡α−sin⁡αv=\cos\alpha-\sin\alpha. 已知等式化为
u2=45v2cos⁡2α\frac{u}{\sqrt2}=\frac45\frac{v}{\sqrt2}\cos2\alpha
又 cos⁡2α=(cos⁡α−sin⁡α)(cos⁡α+sin⁡α)=uv\cos2\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)=uv，所以 u=45uv2u=\frac45uv^2. 若 u=0u=0，则 v=−2v=-\sqrt2. 若 u≠0u\neq0，则 v2=54v^2=\frac54. 由于 α\alpha 是第二象限角，cos⁡α−sin⁡α<0\cos\alpha-\sin\alpha<0，故 v=−52v=-\frac{\sqrt5}{2}. 因此 cos⁡α−sin⁡α=−2\cos\alpha-\sin\alpha=-\sqrt2 或 −52-\frac{\sqrt5}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 2cos⁡2A−B2cos⁡B−sin⁡(A−B)sin⁡B+cos⁡(A+C)=−352\cos^2\frac{A - B}{2}\cos B - \sin (A - B)\sin B + \cos (A + C) = -\frac{3}{5}.
(1) 求 cos⁡A\cos A 的值； (2) 若 a=42a = 4\sqrt{2}，b=5b = 5，求向量 BA→\overrightarrow{BA} 在 BC→\overrightarrow{BC} 方向上的投影.

2013 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 cos⁡(A−B)cos⁡B−sin⁡(A−B)sin⁡(A+C)=−35\cos\left(A-B\right)\cos B-\sin\left(A-B\right)\sin\left(A+C\right)=-\frac35.
(1) 求 sin⁡A\sin A 的值； (2) 若 a=42a=4\sqrt2，b=5b=5，求向量 BA→\overrightarrow{BA} 在 BC→\overrightarrow{BC} 方向上的投影.

2013 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=6cos⁡2(ωx2)+3sin⁡ωx−3f(x)=6\cos^2\left(\frac{\omega x}{2}\right)+\sqrt{3}\sin\omega x-3（ω>0\omega>0）在一个周期内的图象如图所示，AA 为图象的最高点，BB，CC 为图象与 xx 轴的交点，且 △ABC\triangle ABC 为正三角形.
(1) 求 ω\omega 的值及函数 f(x)f(x) 的值域； (2) 若 f(x0)=835f(x_0) = \frac{8\sqrt{3}}{5}，且 x0∈(−103,23)x_0 \in \left(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3}\right)，求 f(x0+1)f(x_0 + 1) 的值.

2012 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2x2−sin⁡x2cos⁡x2−12f(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期和值域. (2) 若 f(α)=3210f(\alpha)=\frac{3\sqrt{2}}{10}，求 sin⁡2α\sin 2\alpha 的值.

2012 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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06三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A⩽sin⁡2B+sin⁡2C−sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A \leqslant \sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C，则 AA 的取值范围是（ ）
A.
(0,π6]\left(0, \frac{\pi}{6}\right]
B.
[π6,π)\left[\frac{\pi}{6},\pi\right)
C.
(0,π3]\left(0, \frac{\pi}{3}\right]
D.
[π3,π)\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right)

2011 · 四川 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x+7π4)+cos⁡(x−3π4)f(x) = \sin \left( x + \frac{7\pi}{4} \right) + \cos \left( x - \frac{3\pi}{4} \right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期和最小值； (2) 已知 cos⁡(β−α)=45\cos(\beta-\alpha)=\frac{4}{5}，cos⁡(β+α)=−45\cos(\beta+\alpha)=-\frac{4}{5}，0<α<β⩽π20 < \alpha < \beta \leqslant \frac{\pi}{2}，求证： [f(β)]2−2=0\left[f(\beta)\right]^2 - 2 = 0.

2011 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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