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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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065分解析几何★★★☆☆
过点 (0,−2)(0,-2) 与圆 x2+y2−4x−1=0x^2+y^2-4x-1=0 相切的两直线的夹角为 α\alpha，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
A.
11
B.
154\frac{\sqrt{15}}{4}
C.
104\frac{\sqrt{10}}{4}
D.
64\frac{\sqrt6}{4}

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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065分三角函数★★★☆☆
记函数 f(x)=sin⁡(ωx+π4)+bf(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)+b（ω>0\omega>0） 的最小正周期为 TT. 若 2π3<T<π\frac{2\pi}{3}<T<\pi，且 y=f(x)y=f(x) 的图象关于点 (3π2,2)\left(\frac{3\pi}{2},2\right) 中心对称，则 f(π2)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=（ ）
A.
1
B.
32\dfrac32
C.
52\dfrac52
D.
3

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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106分平面向量★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，点 P1=(cos⁡α,sin⁡α)P_1=\left( \cos\alpha,\sin\alpha \right)，P2=(cos⁡β,−sin⁡β)P_2=\left( \cos\beta,-\sin\beta \right)，P3=(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β))P_3=\left( \cos\left( \alpha+\beta \right),\sin\left( \alpha+\beta \right) \right)，A(1,0)A(1,0)，则（ ）
A.
∣OP1∣=∣OP2∣|OP_1|=|OP_2|
B.
∣AP1∣=∣AP2∣|AP_1|=|AP_2|
C.
OA→⋅OP3→=OP1→⋅OP2→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}
D.
OA→⋅OP1→=OP2→⋅OP3→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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106分三角函数★★★☆☆
如图是函数 y=sin⁡(ωx+φ)y=\sin(\omega x+\varphi) 的部分图象，则 sin⁡(ωx+φ)\sin(\omega x+\varphi) 等于（ ）
A.
sin⁡(x+π3)\sin\left( x+\dfrac{\pi}{3} \right)
B.
sin⁡(π3−2x)\sin\left( \dfrac{\pi}{3}-2x \right)
C.
cos⁡(2x+π6)\cos\left( 2x+\dfrac{\pi}{6} \right)
D.
cos⁡(5π6−2x)\cos\left( \dfrac{5\pi}{6}-2x \right)

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 设 (sin⁡B−sin⁡C)2=sin⁡2A−sin⁡Bsin⁡C(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 2 a+b=2c\sqrt2\,a+b=2c，求 sin⁡C\sin C.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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11三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A−bsin⁡B=4csin⁡Ca\sin A-b\sin B=4c\sin C，cos⁡A=−14\cos A=-\dfrac{1}{4}，则 bc=\dfrac{b}{c}=（ ）
A.
66
B.
55
C.
44
D.
33

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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15三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+3π2)−3cos⁡xf(x)=\sin \left( 2x+\dfrac{3\pi}{2} \right)-3\cos x 的最小值为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠A=45∘\angle A=45^\circ，AB=2AB=2，BD=5BD=5.
(1) 求 cos⁡∠ADB\cos\angle ADB； (2) 若 DC=22DC=2\sqrt2，求 BCBC.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡C+csin⁡B=4asin⁡Bsin⁡Cb\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C，b2+c2−a2=8b^2+c^2-a^2=8，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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09三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，且满足 sin⁡B(1+2cos⁡C)=2sin⁡Acos⁡C+cos⁡Asin⁡C\sin B(1+2\cos C)=2\sin A\cos C+\cos A\sin C，则下列等式成立的是（ ）
A.
a=2ba=2b
B.
b=2ab=2a
C.
A=2BA=2B
D.
B=2AB=2A

2017 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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16三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡ ⁣(ωx−π6)+sin⁡ ⁣(ωx−π2)f(x)=\sin\!\left(\omega x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin\!\left(\omega x-\dfrac{\pi}{2}\right)，其中 0<ω<30<\omega<3，已知 f ⁣(π6)=0f\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0.
(1) 求 ω\omega； (2) 将函数 y=f(x)y=f(x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 π4\dfrac{\pi}{4} 个单位，得到函数 y=g(x)y=g(x) 的图象，求 g(x)g(x) 在 [−π4,3π4]\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right]上的最小值.

2017 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 b=3b=3，AB→⋅AC→=−6\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-6，S△ABC=3S_{\triangle ABC}=3，求 AA 和 aa.

2017 · 山东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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08三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别是 aa，bb，cc，已知 b=cb=c，a2=2b2(1−sin⁡A)a^2=2b^2\left(1-\sin A\right)，则 A=A=（ ）
A.
3π4\dfrac{3\pi}{4}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
π4\dfrac{\pi}{4}
D.
π6\dfrac{\pi}{6}

2016 · 山东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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12三角函数★★★☆☆
观察下列等式：
(sin⁡π3)−2+(sin⁡2π3)−2=43×1×2\left(\sin\dfrac{\pi}{3}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)^{-2}=\dfrac43\times1\times2；
(sin⁡π5)−2+(sin⁡2π5)−2+(sin⁡3π5)−2+(sin⁡4π5)−2=43×2×3\left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{4\pi}{5}\right)^{-2}=\dfrac43\times2\times3；
(sin⁡π7)−2+(sin⁡2π7)−2+(sin⁡3π7)−2+⋯+(sin⁡6π7)−2=43×3×4\left(\sin\dfrac{\pi}{7}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{7}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{7}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{6\pi}{7}\right)^{-2}=\dfrac43\times3\times4；
(sin⁡π9)−2+(sin⁡2π9)−2+(sin⁡3π9)−2+⋯+(sin⁡8π9)−2=43×4×5\left(\sin\dfrac{\pi}{9}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{9}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{9}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{8\pi}{9}\right)^{-2}=\dfrac43\times4\times5.
照此规律， (sin⁡π2n+1)−2+(sin⁡2π2n+1)−2+(sin⁡3π2n+1)−2+⋯+(sin⁡2nπ2n+1)−2=\left(\sin\dfrac{\pi}{2n+1}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{2n+1}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{2n+1}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{2n\pi}{2n+1}\right)^{-2}=______.

2016 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
设 f(x)=23sin⁡(π−x)sin⁡x−(sin⁡x−cos⁡x)2f(x)=2\sqrt3\sin\left(\pi-x\right)\sin x-\left(\sin x-\cos x\right)^2.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 把 y=f(x)y=f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 22 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 π3\dfrac{\pi}{3} 个单位，得到函数 y=g(x)y=g(x) 的图象，求 g(π6)g\left(\dfrac{\pi}{6}\right) 的值.

2016 · 山东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设 f(x)=sin⁡xcos⁡x−cos⁡2(x+π4)f(x) = \sin x \cos x - \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 在锐角 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 f(A2)=0f\left(\frac{A}{2}\right) = 0，a=1a = 1，求 △ABC\triangle ABC 面积的最大值.

2015 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡B=33\cos B = \frac{\sqrt{3}}{3}，sin⁡(A+B)=69\sin (A + B) = \frac{\sqrt{6}}{9}，ac=23ac = 2\sqrt{3}，求 sin⁡A\sin A 和 cc 的值.

2015 · 山东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(m,cos⁡2x)\boldsymbol{a} = (m, \cos 2x)，b=(sin⁡2x,n)\boldsymbol{b} = (\sin 2x, n)，函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，且 y=f(x)y = f(x) 的图象过点 (π12,3)\left(\frac{\pi}{12}, \sqrt{3}\right) 和点 (2π3,−2)\left(\frac{2\pi}{3}, -2\right).
(1) 求 mm，nn 的值； (2) 将 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 φ\varphi（0<φ<π0 < \varphi < \pi）个单位后得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象. 若 y=g(x)y = g(x) 的图象上各最高点到点 (0,3)(0,3) 的距离的最小值为 1，求 y=g(x)y = g(x) 的单调增区间.

2014 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a=3a = 3，cos⁡A=63\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}，B=A+π2B = A + \frac{\pi}{2}.
(1) 求 bb 的值； (2) 求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2014 · 山东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且 a+c=6a + c = 6，b=2b = 2，cos⁡B=79\cos B = \frac{7}{9}.
(1) 求 aa，cc 的值； (2) 求 sin⁡(A−B)\sin (A - B) 的值.

2013 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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