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共找到 40 题
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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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065分解析几何★★★☆☆
过点 (0,−2)(0,-2) 与圆 x2+y2−4x−1=0x^2+y^2-4x-1=0 相切的两直线的夹角为 α\alpha，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
A.
11
B.
154\frac{\sqrt{15}}{4}
C.
104\frac{\sqrt{10}}{4}
D.
64\frac{\sqrt6}{4}

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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065分三角函数★★★☆☆
记函数 f(x)=sin⁡(ωx+π4)+bf(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)+b（ω>0\omega>0） 的最小正周期为 TT. 若 2π3<T<π\frac{2\pi}{3}<T<\pi，且 y=f(x)y=f(x) 的图象关于点 (3π2,2)\left(\frac{3\pi}{2},2\right) 中心对称，则 f(π2)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=（ ）
A.
1
B.
32\dfrac32
C.
52\dfrac52
D.
3

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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106分平面向量★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，点 P1=(cos⁡α,sin⁡α)P_1=\left( \cos\alpha,\sin\alpha \right)，P2=(cos⁡β,−sin⁡β)P_2=\left( \cos\beta,-\sin\beta \right)，P3=(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β))P_3=\left( \cos\left( \alpha+\beta \right),\sin\left( \alpha+\beta \right) \right)，A(1,0)A(1,0)，则（ ）
A.
∣OP1∣=∣OP2∣|OP_1|=|OP_2|
B.
∣AP1∣=∣AP2∣|AP_1|=|AP_2|
C.
OA→⋅OP3→=OP1→⋅OP2→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}
D.
OA→⋅OP1→=OP2→⋅OP3→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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07三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡(ωx+π6)f(x)=\cos\left( \omega x+\dfrac{\pi}{6} \right) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致如图，则 f(x)f(x) 的最小正周期为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
10π9\dfrac{10\pi}{9}
B.
7π6\dfrac{7\pi}{6}
C.
4π3\dfrac{4\pi}{3}
D.
3π2\dfrac{3\pi}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡(ωx+π6)f(x)=\cos\left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致如图，则 f(x)f(x) 的最小正周期为（ ）
A.
10π9\dfrac{10\pi}{9}
B.
7π6\dfrac{7\pi}{6}
C.
4π3\dfrac{4\pi}{3}
D.
3π2\dfrac{3\pi}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 B=150∘B=150^{\circ}.
(1) 若 a=3ca=\sqrt{3}c，b=27b=2\sqrt{7}，求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 sin⁡A+3sin⁡C=22\sin A+\sqrt{3}\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，求 CC.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 设 (sin⁡B−sin⁡C)2=sin⁡2A−sin⁡Bsin⁡C(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 2 a+b=2c\sqrt2\,a+b=2c，求 sin⁡C\sin C.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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11三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A−bsin⁡B=4csin⁡Ca\sin A-b\sin B=4c\sin C，cos⁡A=−14\cos A=-\dfrac{1}{4}，则 bc=\dfrac{b}{c}=（ ）
A.
66
B.
55
C.
44
D.
33

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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15三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+3π2)−3cos⁡xf(x)=\sin \left( 2x+\dfrac{3\pi}{2} \right)-3\cos x 的最小值为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠A=45∘\angle A=45^\circ，AB=2AB=2，BD=5BD=5.
(1) 求 cos⁡∠ADB\cos\angle ADB； (2) 若 DC=22DC=2\sqrt2，求 BCBC.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡C+csin⁡B=4asin⁡Bsin⁡Cb\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C，b2+c2−a2=8b^2+c^2-a^2=8，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，a=btan⁡Aa = b \tan A，且 BB 为钝角.
(1) 证明： B−A=π2B - A = \frac{\pi}{2}； (2) 求 sin⁡A+sin⁡C\sin A + \sin C 的取值范围.

2015 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，a=btan⁡Aa = b \tan A.
(1) 证明：sin⁡B=cos⁡A\sin B = \cos A； (2) 若 sin⁡C−sin⁡Acos⁡B=34\sin C - \sin A\cos B = \frac{3}{4}，且 BB 为钝角，求 AA，BB，CC.

2015 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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09三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x−φ)f(x) = \sin\left(x - \varphi\right)，且 ∫02π3f(x) dx=0\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, \mathrm{d}x = 0，则函数 f(x)f(x) 的图象的一条对称轴是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由积分条件得
0=∫02π3sin⁡(x−φ) dx=cos⁡φ−cos⁡(2π3−φ)0=\int_0^{2\frac{\pi}{3}}\sin(x-\varphi)\,\mathrm{d}x =\cos\varphi-\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\varphi\right)
利用余弦差公式，sin⁡(φ−π3)=0\sin(\varphi-\frac{\pi}{3})=0，故 φ=π3+kπ\varphi=\frac{\pi}{3}+k\pi，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 于是 f(x)=(−1)ksin⁡(x−π3)f(x)=(-1)^k\sin(x-\frac{\pi}{3}). 正弦函数的对称轴满足 x−π3=π2+nπx-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+n\pi，所以本题函数的一条对称轴为
x=5π6x=\frac{5\pi}{6}
故选 A. \end{solution}
A.
x=5π6x = \frac{5\pi}{6}
B.
x=7π12x = \frac{7\pi}{12}
C.
x=π3x = \frac{\pi}{3}
D.
x=π6x = \frac{\pi}{6}

2014 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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18三角函数★★★☆☆
如图，在平面四边形 ABCDABCD 中，AD=1AD = 1，CD=2CD = 2，AC=7AC = \sqrt{7}.
(1) 求 cos⁡∠CAD\cos \angle CAD 的值； (2) 若 cos⁡∠BAD=−714\cos\angle BAD = -\frac{\sqrt{7}}{14}，sin⁡∠CBA=216\sin\angle CBA = \frac{\sqrt{21}}{6}，求 BCBC 的长.
\begin{solution} 在三角形 ACDACD 中，由余弦定理得
CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcos⁡∠CADCD^2=AC^2+AD^2-2AC\cdot AD\cos\angle CAD
代入已知数据，得到
4=7+1−27cos⁡∠CAD4=7+1-2\sqrt7\cos\angle CAD
所以
cos⁡∠CAD=277\cos\angle CAD=\frac{2\sqrt7}{7}
设 α=∠BAD\alpha=\angle BAD，β=∠CAD\beta=\angle CAD. 由已知条件及角的范围， sin⁡α=1−(−714)2=32114\sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt7}{14}\right)^2}=\frac{3\sqrt{21}}{14}，sin⁡β=1−(277)2=217\sin\beta=\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt7}{7}\right)^2}=\frac{\sqrt{21}}{7}. 由图中射线 ACAC 位于 ∠BAD\angle BAD 内，∠BAC=α−β\angle BAC=\alpha-\beta，故
sin⁡∠BAC=sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β=32114⋅277−(−714)⋅217=32\sin\angle BAC =\sin(\alpha-\beta) =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta =\frac{3\sqrt{21}}{14}\cdot\frac{2\sqrt7}{7} -\left(-\frac{\sqrt7}{14}\right)\cdot\frac{\sqrt{21}}{7} =\frac{\sqrt3}{2}
在三角形 ABCABC 中使用正弦定理，得
BCsin⁡∠BAC=ACsin⁡∠CBA\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{AC}{\sin\angle CBA}
从而
BC=7⋅32216=3BC=\frac{\sqrt7\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{6}}=3
\end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★☆☆
如图，在平面四边形 ABCDABCD 中，DA⊥ABDA \perp AB，DE=1DE = 1，EC=7EC = \sqrt{7}，EA=2EA = 2，∠ADC=2π3\angle ADC = \frac{2\pi}{3}，∠BEC=π3\angle BEC = \frac{\pi}{3}.
(1) 求 sin⁡∠CED\sin \angle CED 的值； (2) 求 BEBE 的长.

2014 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x−π6)+cos⁡(x−π3)f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)，g(x)=2sin⁡2x2g(x) = 2\sin^2\frac{x}{2}.
(1) 若 α\alpha 是第一象限角，且 f(α)=335f(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{5}，求 g(α)g(\alpha) 的值； (2) 求使 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) 成立的 xx 的取值集合.

2013 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡x⋅cos⁡(x−π3)f(x) = \cos x \cdot \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right).
(1) 求 f(2π3)f\left(\frac{2\pi}{3}\right) 的值； (2) 求使 f(x)<14f(x) < \frac{1}{4} 成立的 xx 的取值集合.

2013 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi) 的导函数 y=f′(x)y=f'(x) 的部分图象如图所示，其中，PP 为图象与 yy 轴的交点，AA，CC 为图象与 xx 轴的两个交点，BB 为图象的最低点.
(1) 若 φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}，点 PP 的坐标为 (0,332)\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)，则 ω=\omega=______. (2) 若在曲线段 ABC⌢\overset{\frown}{ABC} 与 xx 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 △ABC\triangle ABC 内的概率为______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) （x∈Rx \in \mathbf{R}，ω>0\omega > 0，0<φ<π20 < \varphi < \tfrac{\pi}{2}）的部分图象如图所示.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 求函数 g(x)=f(x−π12)−f(x+π12)g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{12}\right)-f\left(x+\frac{\pi}{12}\right) 的单调递增区间.

2012 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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