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共找到 43 题
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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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065分解析几何★★★☆☆
过点 (0,−2)(0,-2) 与圆 x2+y2−4x−1=0x^2+y^2-4x-1=0 相切的两直线的夹角为 α\alpha，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
A.
11
B.
154\frac{\sqrt{15}}{4}
C.
104\frac{\sqrt{10}}{4}
D.
64\frac{\sqrt6}{4}

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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065分三角函数★★★☆☆
记函数 f(x)=sin⁡(ωx+π4)+bf(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)+b（ω>0\omega>0） 的最小正周期为 TT. 若 2π3<T<π\frac{2\pi}{3}<T<\pi，且 y=f(x)y=f(x) 的图象关于点 (3π2,2)\left(\frac{3\pi}{2},2\right) 中心对称，则 f(π2)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=（ ）
A.
1
B.
32\dfrac32
C.
52\dfrac52
D.
3

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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106分平面向量★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，点 P1=(cos⁡α,sin⁡α)P_1=\left( \cos\alpha,\sin\alpha \right)，P2=(cos⁡β,−sin⁡β)P_2=\left( \cos\beta,-\sin\beta \right)，P3=(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β))P_3=\left( \cos\left( \alpha+\beta \right),\sin\left( \alpha+\beta \right) \right)，A(1,0)A(1,0)，则（ ）
A.
∣OP1∣=∣OP2∣|OP_1|=|OP_2|
B.
∣AP1∣=∣AP2∣|AP_1|=|AP_2|
C.
OA→⋅OP3→=OP1→⋅OP2→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}
D.
OA→⋅OP1→=OP2→⋅OP3→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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07三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡(ωx+π6)f(x)=\cos\left( \omega x+\dfrac{\pi}{6} \right) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致如图，则 f(x)f(x) 的最小正周期为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
10π9\dfrac{10\pi}{9}
B.
7π6\dfrac{7\pi}{6}
C.
4π3\dfrac{4\pi}{3}
D.
3π2\dfrac{3\pi}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡(ωx+π6)f(x)=\cos\left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致如图，则 f(x)f(x) 的最小正周期为（ ）
A.
10π9\dfrac{10\pi}{9}
B.
7π6\dfrac{7\pi}{6}
C.
4π3\dfrac{4\pi}{3}
D.
3π2\dfrac{3\pi}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 B=150∘B=150^{\circ}.
(1) 若 a=3ca=\sqrt{3}c，b=27b=2\sqrt{7}，求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 sin⁡A+3sin⁡C=22\sin A+\sqrt{3}\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，求 CC.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 设 (sin⁡B−sin⁡C)2=sin⁡2A−sin⁡Bsin⁡C(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 2 a+b=2c\sqrt2\,a+b=2c，求 sin⁡C\sin C.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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11三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A−bsin⁡B=4csin⁡Ca\sin A-b\sin B=4c\sin C，cos⁡A=−14\cos A=-\dfrac{1}{4}，则 bc=\dfrac{b}{c}=（ ）
A.
66
B.
55
C.
44
D.
33

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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15三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+3π2)−3cos⁡xf(x)=\sin \left( 2x+\dfrac{3\pi}{2} \right)-3\cos x 的最小值为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠A=45∘\angle A=45^\circ，AB=2AB=2，BD=5BD=5.
(1) 求 cos⁡∠ADB\cos\angle ADB； (2) 若 DC=22DC=2\sqrt2，求 BCBC.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡C+csin⁡B=4asin⁡Bsin⁡Cb\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C，b2+c2−a2=8b^2+c^2-a^2=8，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡x(sin⁡x+cos⁡x)−12f(x) = \cos x (\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}，
(1) 若 0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2}，且 sin⁡α=22\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}，求 f(α)f(\alpha) 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期及单调递增区间.

2014 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡x(sin⁡x+cos⁡x)f(x) = 2\cos x (\sin x + \cos x).
(1) 求 f(5π4)f\left(\frac{5\pi}{4}\right) 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期及单调递增区间.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将 x=5π4x=\frac{5\pi}{4} 代入，得 f(5π4)=2cos⁡5π4(sin⁡5π4+cos⁡5π4)=2f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=2\cos\frac{5\pi}{4}\left(\sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}\right)=2. \item 化简得 f(x)=2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2x=1+sin⁡2x+cos⁡2x=1+2sin⁡(2x+π4)f(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x=1+\sin2x+\cos2x=1+\sqrt2\sin\left(2x+\frac\pi4\right). 因此最小正周期满足 2T=2π2T=2\pi，即 T=πT=\pi. 又 f′(x)=22cos⁡(2x+π4)f'(x)=2\sqrt2\cos\left(2x+\frac\pi4\right)，所以在单调递增区间内 f′(x)⩾0f'(x)\geqslant0，且内部除端点外为正，即 −π2+2kπ⩽2x+π4⩽π2+2kπ-\frac\pi2+2k\pi\leqslant2x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi，从而 kπ−3π8⩽x⩽kπ+π8k\pi-\frac{3\pi}{8}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac\pi8. 故函数的单调递增区间为 [kπ−3π8,kπ+π8]\left[k\pi-\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac\pi8\right]，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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13三角函数★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，已知点 DD 在 BCBC 边上，AD⊥ACAD \perp AC，sin⁡∠BAC=223\sin \angle BAC = \frac{2\sqrt{2}}{3}，AB=32AB = 3\sqrt{2}，AD=3AD = 3，则 BDBD 的长为______.

2013 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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09三角函数★★★☆☆
将函数 f(x)=sin⁡(2x+θ)f(x) = \sin (2x + \theta)（−π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}）的图象向右平移 φ\varphi（φ>0\varphi > 0）个单位长度后得到函数 g(x)g(x) 的图象. 若 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的图象都经过点 P(0,32)P\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)，则 φ\varphi 的值可以是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数图象向右平移 φ\varphi 个单位后，所得函数为 g(x)=f(x−φ)g(x)=f(x-\varphi). 因为 f(0)=32f(0)=\frac{\sqrt{3}}2，且 −π2<θ<π2-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2，所以 sin⁡θ=32\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}2 给出 θ=π3\theta=\frac\pi3. 又 g(0)=32g(0)=\frac{\sqrt{3}}2，故
sin⁡(π3−2φ)=32\sin\left(\frac\pi3-2\varphi\right)=\frac{\sqrt{3}}2
因为 sin⁡t=32\sin t=\frac{\sqrt3}{2} 的解为 t=π3+2kπt=\frac\pi3+2k\pi 或 t=2π3+2kπt=\frac{2\pi}3+2k\pi，取 π3−2φ=2π3−2π\frac\pi3-2\varphi=\frac{2\pi}3-2\pi，得到 φ=5π6\varphi=\frac{5\pi}{6}. 它满足 φ>0\varphi>0，故选 B. \end{solution}
A.
5π3\frac{5\pi}{3}
B.
5π6\frac{5\pi}{6}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
π6\frac{\pi}{6}

2013 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
① sin⁡213∘+cos⁡217∘−sin⁡13∘cos⁡17∘\sin^{2}13^{\circ} + \cos^{2}17^{\circ} - \sin13^{\circ}\cos17^{\circ}； ② sin⁡215∘+cos⁡215∘−sin⁡15∘cos⁡15∘\sin^{2}15^{\circ} + \cos^{2}15^{\circ} - \sin15^{\circ}\cos15^{\circ}； ③ sin⁡218∘+cos⁡212∘−sin⁡18∘cos⁡12∘\sin^{2}18^{\circ} + \cos^{2}12^{\circ} - \sin18^{\circ}\cos12^{\circ}； ④ sin⁡2(−18∘)+cos⁡248∘−sin⁡(−18∘)cos⁡48∘\sin^{2}(-18^{\circ}) + \cos^{2}48^{\circ} - \sin(-18^{\circ})\cos48^{\circ}； ⑤ sin⁡2(−25∘)+cos⁡255∘−sin⁡(−25∘)cos⁡55∘\sin^{2}(-25^{\circ}) + \cos^{2}55^{\circ} - \sin(-25^{\circ})\cos55^{\circ}.
(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

2012 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20三角函数★★★☆☆
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
① sin⁡213∘+cos⁡217∘−sin⁡13∘cos⁡17∘\sin^{2}13^{\circ}+\cos^{2}17^{\circ}-\sin13^{\circ}\cos17^{\circ}； ② sin⁡215∘+cos⁡215∘−sin⁡15∘cos⁡15∘\sin^{2}15^{\circ}+\cos^{2}15^{\circ}-\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}； ③ sin⁡218∘+cos⁡212∘−sin⁡18∘cos⁡12∘\sin^{2}18^{\circ}+\cos^{2}12^{\circ}-\sin18^{\circ}\cos12^{\circ}； ④ sin⁡2(−18∘)+cos⁡248∘−sin⁡(−18∘)cos⁡48∘\sin^{2}(-18^{\circ})+\cos^{2}48^{\circ}-\sin(-18^{\circ})\cos48^{\circ}； ⑤ sin⁡2(−25∘)+cos⁡255∘−sin⁡(−25∘)cos⁡55∘\sin^{2}(-25^{\circ})+\cos^{2}55^{\circ}-\sin(-25^{\circ})\cos55^{\circ}.
(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

2012 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★☆☆
设函数 f(θ)=3sin⁡θ+cos⁡θf(\theta) = \sqrt{3}\sin \theta + \cos \theta，其中，角 θ\theta 的顶点与坐标原点重合，始边与 xx 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x,y)P(x, y)，且 0⩽θ⩽π0 \leqslant \theta \leqslant \pi.
(1) 若点 PP 的坐标为 (12,32)\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)，求 f(θ)f(\theta) 的值； (2) 若点 P(x,y)P(x, y) 为平面区域 Ω\Omega：
{x+y⩾1,x⩽1,y⩽1\begin{cases} x + y \geqslant 1,\\ x \leqslant 1,\\ y \leqslant 1 \end{cases}
上的一个动点，试确定角 θ\theta 的取值范围，并求函数 f(θ)f(\theta) 的最小值和最大值.

2011 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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14三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=3sin⁡(ωx−π6)f(x) = 3\sin \left( \omega x - \frac{\pi}{6} \right)（ω>0\omega > 0）和 g(x)=2cos⁡(2x+φ)+1g(x) = 2\cos (2x + \varphi) + 1 的图象的对称轴完全相同. 若 x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]，则 f(x)f(x) 的取值范围是______.

2010 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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10三角函数★★★☆☆
将函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi) 的图象向左平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位，若所得图象与原图象重合，则 ω\omega 的值不可能等于（ ）
A.
4
B.
6
C.
8
D.
12

2010 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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