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10平面向量★★★☆☆
已知 k∈Rk\in \mathbf{R}，向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 是两两不平行的向量，且 a+3b∥b+c\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，2a+kc∥b+c2\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{c}\parallel \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
已知空间直角坐标系 OxyzOxyz 中的点集 Ω\Omega，对任意的 P1P_1，P2P_2，P3∈ΩP_3\in \Omega，均存在不全为 00 的实数 λ1\lambda_1，λ2\lambda_2，λ3\lambda_3，使得 λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}=\boldsymbol{0}. 若 (1,0,0)∈Ω(1,0,0)\in \Omega，则 (0,0,1)∉Ω(0,0,1)\notin \Omega 的一个充分条件是（ ）
A.
(0,0,0)∈Ω(0,0,0)\in \Omega
B.
(−1,0,0)∈Ω(-1,0,0)\in \Omega
C.
(0,−1,0)∈Ω(0,-1,0)\in \Omega
D.
(0,0,−1)∈Ω(0,0,-1)\in \Omega

2024 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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11平面向量★★★☆☆
已知平面非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 的模均为 λ\lambda，若 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0，a⋅c=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=2，b⋅c=1\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1，则 λ=‾\lambda=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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08平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,0)A(-1,0)，B(2,0)B(2,0)，EE，FF 是 yy 轴上的两个动点，且 ∣EF→∣=2\lvert\overrightarrow{EF}\rvert=2，则 AE→⋅BF→\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF} 的最小值为______.

2018 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C1:x236+y24=1C_1:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1 和 C2:x2+y29=1C_2:x^2+\dfrac{y^2}{9}=1. PP 为 C1C_1 上的动点，QQ 为 C2C_2 上的动点，ww 是 OP→⋅OQ→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} 的最大值. 记 Ω={(P,Q)∣P 在 C1 上，Q 在 C2 上，且OP→⋅OQ→=w}\Omega=\{(P,Q)\mid P\text{ 在 }C_1\text{ 上，}Q\text{ 在 }C_2\text{ 上，且}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=w\}，则 Ω\Omega 中元素个数为（ ）
A.
22个
B.
44个
C.
88个
D.
含有无穷个元素

2017 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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12平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，已知 A(1,0)A(1,0)，B(0,−1)B(0,-1)，PP 是曲线 y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} 上一个动点，则 BP→⋅BA→\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BA} 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，OO 为正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的中心，A1(1,0)A_1(1,0)，任取不同的两点 AiA_i，AjA_j，点 PP 满足 OP→+OAi→+OAj→=\bs0\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}=\bs0，则点 PP 落在第一象限的概率是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
如图，已知点 O(0,0)O(0,0)，A(1,0)A(1,0)，B(0,−1)B(0,-1)，PP 是曲线 y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} 上一个动点，则 OP→⋅BA→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BA} 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
已知曲线 C:x=−4−y2C: x = -\sqrt{4 - y^2}，直线 l:x=6l: x = 6. 若对于点 A(m,0)A(m,0)，存在 CC 上的点 PP 和 ll 上的 QQ 使得 AP→+AQ→=0→\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}，则 mm 的取值范围为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 11. 记以 AA 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，a3\boldsymbol{a}_3；以 CC 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 c1\boldsymbol{c}_1，c2\boldsymbol{c}_2，c3\boldsymbol{c}_3. 若 ii，jj，kk，l∈{1,2,3}l \in \{1, 2, 3\} 且 i≠ji \neq j，k≠lk \neq l，则 (ai+aj)⋅(ck+cl)\left(\boldsymbol{a}_i + \boldsymbol{a}_j\right) \cdot \left(\boldsymbol{c}_k + \boldsymbol{c}_l\right) 的最小值是______.
\begin{answer} −5-5 \end{answer}
\begin{solution} 不妨按 BB，CC，DD 的顺序编号从 AA 引出的三个向量，按 AA，BB，DD 的顺序编号从 CC 引出的三个向量. 建立坐标系 A=(0,0)A=(0,0)，B=(1,0)B=(1,0)，C=(1,1)C=(1,1)，D=(0,1)D=(0,1). 于是 a1=(1,0)\boldsymbol{a}_1=(1,0)，a2=(1,1)\boldsymbol{a}_2=(1,1)，a3=(0,1)\boldsymbol{a}_3=(0,1) 以及 c1=(−1,−1)\boldsymbol{c}_1=(-1,-1)，c2=(0,−1)\boldsymbol{c}_2=(0,-1)，c3=(−1,0)\boldsymbol{c}_3=(-1,0). 任取两个不同下标时，两个向量和分别可能为
ai+aj∈{(2,1),(1,1),(1,2)}\boldsymbol{a}_i+\boldsymbol{a}_j\in\{(2,1),(1,1),(1,2)\}
ck+cl∈{(−1,−2),(−2,−1),(−1,−1)}\boldsymbol{c}_k+\boldsymbol{c}_l\in\{(-1,-2),(-2,-1),(-1,-1)\}
当第一向量和依次取 (2,1)(2,1)、(1,1)(1,1)、(1,2)(1,2) 时，与上述三个第二向量和的数量积依次为 (−4,−5,−3)(-4,-5,-3)、(−3,−3,−2)(-3,-3,-2)、(−5,−4,−3)(-5,-4,-3). 因而所有可能值的最小值为 −5-5. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，∠A=π3\angle A = \frac{\pi}{3}，边 ABAB，ADAD 的长分别为 22，11. 若 MM，NN 分别是边 BCBC，CDCD 上的点，且满足 ∣BM∣∣BC∣=∣CN∣∣CD∣\frac{|BM|}{|BC|} = \frac{|CN|}{|CD|}，则 AM→⋅AN→\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} 的取值范围是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
在矩形 ABCDABCD 中，边 ABAB、ADAD 的长分别为 22、11. 若 MM、NN 分别是 BCBC、CDCD 上的点，且满足 ∣BM∣∣BC∣=∣CN∣∣CD∣\frac{|BM|}{|BC|} = \frac{|CN|}{|CD|}，则 AM→⋅AN→\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} 的取值范围是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
如图所示，直线 x=2x = 2 与双曲线 Γ:x24−y2=1\Gamma: \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 的渐近线交于 E1E_1，E2E_2 两点，记 OE1→=e1\overrightarrow{OE_1} = \boldsymbol{e}_1，OE2→=e2\overrightarrow{OE_2} = \boldsymbol{e}_2，任取双曲线 Γ\Gamma 上的点 PP，若 OP→=ae1+be2\overrightarrow{OP} = a\boldsymbol{e}_1 + b\boldsymbol{e}_2（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），则 aa，bb 满足的一个等式是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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20三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，设向量 m=(a,b)\boldsymbol{m} = (a, b)，n=(sin⁡B,sin⁡A)\boldsymbol{n} = (\sin B, \sin A)，p=(b−2,a−2)\boldsymbol{p} = (b - 2, a - 2).
(1) 若 m∥n\boldsymbol{m} \parallel \boldsymbol{n}，求证：△ABC\triangle ABC 为等腰三角形； (2) 若 m⊥p\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{p}，边长 c=2c = 2，角 C=π3C = \frac{\pi}{3}，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2009 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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14平面向量★★★☆☆
直角坐标系 xOyxOy 中，i\boldsymbol{i}，j\boldsymbol{j} 分别是与 xx，yy 轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形 ABCABC 中，若 AB→=2i+j\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j}，AC→=3i+kj\overrightarrow{AC} = 3\boldsymbol{i} + k\boldsymbol{j}，则 kk 的可能个数是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2007 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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