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14平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，DD 为 ABAB 中点，CE→=13CD→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CD}，AC→=b\overrightarrow{AC}= \boldsymbol{b}，AB→=a\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}. 则 AE→=‾\overrightarrow{AE}=\underline{\hspace{2em}}（用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示）；若 ∣AE→∣=5|\overrightarrow{AE}|=5，AE→⊥CB→\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{CB}，则 AE→⋅CD→=‾\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{CD}=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在边长为 1 的正方形 ABCDABCD 中，点 EE 为线段 CDCD 的三等分点，CE=12DECE=\frac12DE，BE→=λBA→+μBC→\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}，则 λ+μ=‾\lambda+\mu=\underline{\hspace{2em}}；FF 为线段 BEBE 上的动点，GG 为 AFAF 中点，则 AF→⋅DG→\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{DG} 的最小值为______.

2024 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
在边长为 11 的等边三角形 ABCABC 中，DD 为线段 BCBC 上的动点，DE⊥ABDE\perp AB 且交 ABAB 于点 EE，DF∥ABDF\parallel AB 且交 ACAC 于点 FF，则 ∣2BE→+DF→∣\left| 2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF} \right| 的值为 ‾\underline{\hspace{2em}}；(DE→+DF→)⋅DA→\left( \overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF} \right)\cdot \overrightarrow{DA} 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，∠B=60∘\angle B=60^\circ，∣AB∣=3|AB|=3，∣BC∣=6|BC|=6，且 AD→=λBC→\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC}，AD→⋅AB→=−32\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=-\dfrac32，则实数 λ\lambda 的值为______，若 MM，NN 是线段 BCBC 上的动点，且 ∣MN∣=1|MN|=1，则 DM→⋅DN→\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN} 的最小值为______.

2020 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD\parallel BC，AB=23AB=2\sqrt3，AD=5AD=5，∠A=30∘\angle A=30^\circ，点 EE 在线段 CBCB 的延长线上，且 AE=BEAE=BE，则 BD→⋅AE→=‾\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AE}=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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08平面向量★★★☆☆
如图，在平面四边形 ABCDABCD 中，AB⊥BCAB\perp BC，AD⊥CDAD\perp CD，∠BAD=120∘\angle BAD=120^\circ，AB=AD=1AB=AD=1. 若点 EE 为边 CDCD 上的动点，则 AE→⋅BE→\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BE} 的最小值为（ ）
A.
2116\dfrac{21}{16}
B.
32\dfrac32
C.
2516\dfrac{25}{16}
D.
33

2018 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
在如图的平面图形中，已知 OM=1OM=1，ON=2ON=2，∠MON=120∘\angle MON=120^\circ，BM→=2MA→\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}，CN→=2NA→\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{NA}，则 BC→⋅OM→\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OM} 的值为（ ）
A.
−15-15
B.
−9-9
C.
−6-6
D.
00

2018 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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13平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，AB=3AB=3，AC=2AC=2. 若 BD→=2DC→\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}，AE→=λAC→−AB→\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}（λ∈R\lambda\in\mathbf{R}），且 AD→⋅AE→=−4\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=-4，则 λ\lambda 的值为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，AB=3AB=3，AC=2AC=2. 若 BD→=2DC→\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}，AE→=λAC→−AB→\overrightarrow{AE}=\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}（λ∈R\lambda\in\mathbf{R}），且 AD→⋅AE→=−4\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=-4，则 λ\lambda 的值为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
已知菱形 ABCDABCD 的边长为 22，∠BAD=120∘\angle BAD = 120^{\circ}，点 EE，FF 分别在边 BCBC，DCDC 上，BC=3BEBC = 3BE，DC=λDFDC = \lambda DF. 若 AE→⋅AF→=1\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = 1，则 λ\lambda 的值为______.

2014 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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07平面向量★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 为等边三角形，AB=2AB = 2，设点 PP，QQ 满足 AP→=λAB→\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}，AQ→=(1−λ)AC→\overrightarrow{AQ} = (1 - \lambda) \overrightarrow{AC}，λ∈R\lambda \in \mathbf{R}，若 BQ→⋅CP→=−32\overrightarrow{BQ} \cdot \overrightarrow{CP} = -\frac{3}{2}，则 λ=\lambda =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
1±22\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}
C.
1±102\frac{1 \pm \sqrt{10}}{2}
D.
−3±222\frac{-3 \pm 2\sqrt{2}}{2}

2012 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}，AB=1AB = 1，AC=2AC = 2. 设点 PP，QQ 满足 AP→=λAB→\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}，AQ→=(1−λ)AC→\overrightarrow{AQ} = (1 - \lambda)\overrightarrow{AC}，λ∈R\lambda \in \mathbf{R}. 若 BQ→⋅CP→=−2\overrightarrow{BQ} \cdot \overrightarrow{CP} = -2，则 λ=\lambda =（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
23\frac{2}{3}
C.
43\frac{4}{3}
D.
2

2012 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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14平面向量★★★☆☆
已知直角梯形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠ADC=90∘\angle ADC = 90^{\circ}，AD=2AD = 2，BC=1BC = 1，PP 是腰 DCDC 上的动点，则 ∣PA→+3PB→∣\left|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}\right| 的最小值为______.

2011 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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09平面向量★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AD⊥ABAD \perp AB，BC→=3BD→\overrightarrow{BC} = \sqrt{3}\overrightarrow{BD}，∣AD→∣=1|\overrightarrow{AD}| = 1，则 AC→⋅AD→=\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} =（ ）
A.
232\sqrt{3}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
3\sqrt{3}

2010 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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15平面向量★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠BAC=120∘\angle BAC = 120^{\circ}，AB=2AC=1AB = 2AC = 1，DD 是边 BCBC 上一点，DC=2BDDC = 2BD，则 AD→⋅BC→=\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} =______.

2007 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
设函数 f(x)=1x+1f(x)=\frac{1}{x+1}，点 A0A_{0} 表示坐标原点，点 An(n,f(n))A_{n}(n,f(n))（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）. 若向量 an=A0A1→+A1A2→+⋯+An−1An→\boldsymbol{a}_{n}=\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}，θn\theta_{n} 是 an\boldsymbol{a}_{n} 与 i\boldsymbol{i} 的夹角（其中 i=(1,0)\boldsymbol{i}=(1,0)），设 Sn=tan⁡θ1+tan⁡θ2+⋯+tan⁡θnS_{n}=\tan\theta_{1}+\tan\theta_{2}+\cdots+\tan\theta_{n}，则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}=______.

2006 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(0,1)A(0,1) 和点 B(−3,4)B(-3,4)，若点 CC 在 ∠AOB\angle AOB 的平分线上且 ∣OC→∣=2\left|\overrightarrow{OC}\right|=2，则 OC→=\overrightarrow{OC}=______.

2005 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(0,1)A(0,1) 和点 B(−3,4)B(-3,4). 若点 CC 在 ∠AOB\angle AOB 的平分线上且 ∣OC→∣=2\left|\overrightarrow{OC}\right| = 2，则 OC→=‾\overrightarrow{OC} =\underline{\hspace{2em}}.

2005 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，定点 AA 和 BB 都在平面 α\alpha 内，定点 P∉αP\notin \alpha，PB⊥αPB \perp \alpha，CC 是 α\alpha 内异于 AA 和 BB 的动点，且 PC⊥ACPC \perp AC. 那么，动点 CC 在平面 α\alpha 内的轨迹是（ ）
\begin{solution} 在平面 α\alpha 内取 BB 为原点，令 BA→=a\overrightarrow{BA}=\boldsymbol{a}，BC→=c\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{c}，并设 PB=h>0PB=h>0. 由于 PB⊥αPB\perp\alpha，向量 CP→\overrightarrow{CP} 的平面内分量为 −c-\boldsymbol{c}，而 CA→=a−c\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}. 条件 PC⊥ACPC\perp AC 给出 CP→⋅CA→=(−c)⋅(a−c)=0\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CA}=(-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})=0，即 c⋅(c−a)=0\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})=0.
配方得 ∣c−12a∣2=14∣a∣2\left|\boldsymbol{c}-\dfrac12\boldsymbol{a}\right|^2=\dfrac14\left|\boldsymbol{a}\right|^2. 因此 CC 在以 ABAB 为直径的圆上. 题设规定 CC 异于 AA 和 BB，所以要从该圆上去掉这两个点，故选 B. \end{solution}
A.
一条线段，但要去掉两个点
B.
一个圆，但要去掉两个点
C.
一个椭圆，但要去掉两个点
D.
半圆，但要去掉两个点

2004 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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