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106分平面向量★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，点 P1=(cos⁡α,sin⁡α)P_1=\left( \cos\alpha,\sin\alpha \right)，P2=(cos⁡β,−sin⁡β)P_2=\left( \cos\beta,-\sin\beta \right)，P3=(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β))P_3=\left( \cos\left( \alpha+\beta \right),\sin\left( \alpha+\beta \right) \right)，A(1,0)A(1,0)，则（ ）
A.
∣OP1∣=∣OP2∣|OP_1|=|OP_2|
B.
∣AP1∣=∣AP2∣|AP_1|=|AP_2|
C.
OA→⋅OP3→=OP1→⋅OP2→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}
D.
OA→⋅OP1→=OP2→⋅OP3→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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10平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a} 是已知的平面向量且 a≠0\boldsymbol{a} \neq 0. 关于向量 a\boldsymbol{a} 的分解，有如下四个命题：
① 给定向量 b\boldsymbol{b}，总存在向量 c\boldsymbol{c}，使 a=b+c\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}. ② 给定向量 b\boldsymbol{b} 和 c\boldsymbol{c}，总存在实数 λ\lambda 和 μ\mu，使 a=λb+μc\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} + \mu \boldsymbol{c}； ③ 给定单位向量 b\boldsymbol{b} 和正数 μ\mu，总存在单位向量 c\boldsymbol{c} 和实数 λ\lambda，使 a=λb+μc\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} + \mu \boldsymbol{c}. ④ 给定正数 λ\lambda 和 μ\mu，总存在单位向量 b\boldsymbol{b} 和单位向量 c\boldsymbol{c}，使 a=λb+μc\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} + \mu \boldsymbol{c}.
上述命题中的向量 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 和 a\boldsymbol{a} 在同一平面内且两两不共线， 则真命题的个数是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2013 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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15平面向量★★★☆☆
如图，在矩形 ABCDABCD 中，AB=3AB = \sqrt{3}，BC=3BC = 3，BE⊥ACBE \perp AC，垂足为 EE，则 ED=ED =______.

2013 · 广东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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08平面向量★★★☆☆
对任意两个非零的平面向量 α\boldsymbol{\alpha} 和 β\boldsymbol{\beta}，定义 α∘β=α⋅ββ⋅β\boldsymbol{\alpha} \circ \boldsymbol{\beta} = \frac{\boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\beta} \cdot \boldsymbol{\beta}}. 若平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣≥∣b∣>0|\boldsymbol{a}| \ge |\boldsymbol{b}| > 0，a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角 θ∈(0,π4)\theta \in \left( 0, \frac{\pi}{4} \right)，且 a∘b\boldsymbol{a} \circ \boldsymbol{b} 和 b∘a\boldsymbol{b} \circ \boldsymbol{a} 都在集合 {n2∣n∈Z}\left\{ \frac{n}{2} \mid n \in \mathbf{Z} \right\} 中，则 a∘b=\boldsymbol{a} \circ \boldsymbol{b} =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
11
C.
32\frac{3}{2}
D.
52\frac{5}{2}

2012 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
对任意两个非零的平面向量 α\boldsymbol{\alpha} 和 β\boldsymbol{\beta}，定义 α∘β=α⋅ββ⋅β\boldsymbol{\alpha} \circ \boldsymbol{\beta} = \frac{\boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\beta} \cdot \boldsymbol{\beta}}. 若两个非零的平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角 θ∈(π4,π2)\theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)，且 a∘b\boldsymbol{a} \circ \boldsymbol{b} 和 b∘a\boldsymbol{b} \circ \boldsymbol{a} 都在集合 {n2∣n∈Z}\left\{\frac{n}{2} \mid n \in \mathbf{Z}\right\} 中，则 a∘b=\boldsymbol{a} \circ \boldsymbol{b} =（ ）
A.
52\frac{5}{2}
B.
32\frac{3}{2}
C.
11
D.
12\frac{1}{2}

2012 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
已知平面直角坐标系 xOyxOy 上的区域 DD 由不等式组
{0⩽x⩽2,y⩽2,x⩽2y\begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{2},\\ y \leqslant 2,\\ x \leqslant \sqrt{2}y \end{cases}
给定. 若 M(x,y)M(x, y) 为 DD 上的动点，点 AA 的坐标为 (2,1)(\sqrt{2}, 1)，则 z=OM→⋅OA→z = \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OA} 的最大值为（ ）
A.
33
B.
44
C.
323\sqrt{2}
D.
424\sqrt{2}

2011 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(sin⁡θ,−2)\boldsymbol{a} = (\sin \theta, -2) 与 b=(1,cos⁡θ)\boldsymbol{b} = (1, \cos \theta) 互相垂直，其中 θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 求 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 的值； (2) 若 sin⁡(θ−φ)=1010\sin(\theta-\varphi)=\frac{\sqrt{10}}{10}，0<φ<π20<\varphi<\frac{\pi}{2}，求 cos⁡φ\cos\varphi 的值.

2009 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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08平面向量★★★☆☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，ACAC 与 BDBD 交于点 OO，EE 是线段 ODOD 的中点，AEAE 的延长线与 CDCD 交于点 FF. 若 AC→=a\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{a}，BD→=b\overrightarrow{BD} = \boldsymbol{b}，则 AF→=\overrightarrow{AF} =（ ）
A.
14a+12b\frac{1}{4}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b}
B.
23a+13b\frac{2}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{3}\boldsymbol{b}
C.
12a+14b\frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{4}\boldsymbol{b}
D.
13a+23b\frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{2}{3}\boldsymbol{b}

2008 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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