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106分平面向量★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，点 P1=(cos⁡α,sin⁡α)P_1=\left( \cos\alpha,\sin\alpha \right)，P2=(cos⁡β,−sin⁡β)P_2=\left( \cos\beta,-\sin\beta \right)，P3=(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β))P_3=\left( \cos\left( \alpha+\beta \right),\sin\left( \alpha+\beta \right) \right)，A(1,0)A(1,0)，则（ ）
A.
∣OP1∣=∣OP2∣|OP_1|=|OP_2|
B.
∣AP1∣=∣AP2∣|AP_1|=|AP_2|
C.
OA→⋅OP3→=OP1→⋅OP2→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}
D.
OA→⋅OP1→=OP2→⋅OP3→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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12平面向量★★★☆☆
如图，在同一个平面内，向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，OC→\overrightarrow{OC} 的模分别为 11，11，2\sqrt2，OA→\overrightarrow{OA} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 α\alpha，且 tan⁡α=7\tan\alpha=7，OB→\overrightarrow{OB} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 45∘45^\circ. 若 OC→=mOA→+nOB→\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（mm，n∈Rn\in\mathbf{R}），则 m+n=‾m+n=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a}=(\cos x,\sin x)，b=(3,−3)\boldsymbol{b}=(3,-\sqrt3)，x∈[0,π]x\in[0,\pi].
(1) 若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel \boldsymbol{b}，求 xx 的值； (2) 记 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值以及对应的 xx 的值.

2017 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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21平面向量★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ，BD⊥ACBD\perp AC，DD 为垂足，EE 是 BCBC 的中点. 求证：∠EDC=∠ABD\angle EDC=\angle ABD.

2016 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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12平面向量★★★☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，已知 AB=8AB = 8，AD=5AD = 5，CP→=3PD→\overrightarrow{CP} = 3\overrightarrow{PD}，AP→⋅BP→=2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 2，则 AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} 的值是______.

2014 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
设 DD，EE 分别是 △ABC\triangle ABC 的边 ABAB，BCBC 上的点，AD=12ABAD=\frac{1}{2}AB，BE=23BCBE=\frac{2}{3}BC. 若 DE→=λ1AB→+λ2AC→\overrightarrow{DE}=\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_2\overrightarrow{AC}（λ1\lambda_1，λ2\lambda_2 为实数），则 λ1+λ2\lambda_1+\lambda_2 的值为______.

2013 · 江苏 · 第 10 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
已知 a=(cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)，b=(cos⁡β,sin⁡β)\boldsymbol{b}=(\cos\beta,\sin\beta)，0<β<α<π0<\beta<\alpha<\pi.
(1) 若 ∣a−b∣=2\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|=\sqrt2，求证：a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}； (2) 设 c=(0,1)\boldsymbol{c}=(0,1)，若 a+b=c\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}，求 α\alpha，β\beta 的值.

2013 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AB→⋅AC→=3BA→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}.
(1) 求证：tan⁡B=3tan⁡A\tan B = 3\tan A. (2) 若 cos⁡C=55\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}，求 AA 的值.

2012 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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15平面向量★★★☆☆
设向量 a=(4cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a}=(4\cos\alpha,\sin\alpha)，b=(sin⁡β,4cos⁡β)\boldsymbol{b}=(\sin\beta,4\cos\beta)，c=(cos⁡β,−4sin⁡β)\boldsymbol{c}=(\cos\beta,-4\sin\beta).
(1) 若 a\boldsymbol{a} 与 b−2c\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{c} 垂直，求 tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) 的值； (2) 求 ∣b+c∣|\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的最大值； (3) 若 tan⁡αtan⁡β=16\tan\alpha\tan\beta=16，求证：a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}.

2009 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★☆☆
如图，设动点 PP 在棱长为 11 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 的对角线 BD1BD_1 上，记 D1PD1B=λ\frac{D_1P}{D_1B} = \lambda. 当 ∠APC\angle APC 为钝角时，求 λ\lambda 的取值范围.

2008 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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10平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知平面区域 A={(x,y)∣x+y⩽1,且 x⩾0, y⩾0}A = \{(x, y) \mid x + y \leqslant 1,\text{且 }x \geqslant 0,\ y \geqslant 0\}，则平面区域 B={(x+y,x−y)∣(x,y)∈A}B = \{(x + y, x - y) \mid (x, y) \in A\} 的面积为（ ）
A.
22
B.
11
C.
12\frac{1}{2}
D.
14\frac{1}{4}

2007 · 江苏 · 第 10 题 · 选择题

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18平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，OO 为中线 AMAM 上的一个动点，若 AM=2AM = 2，则 OA→⋅(OB→+OC→)\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) 的最小值是______.

2005 · 江苏 · 第 18 题 · 填空题

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