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18平面向量★★★☆☆
小波以游戏方式决定是去打球，唱歌还是去下棋，游戏规则为：以 OO 为起点，再从 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}（如图）这 66 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 XX，若 X>0X > 0 就去打球，若 X=0X = 0 就去唱歌，若 X<0X < 0 就去下棋.
(1) 写出数量积 XX 的所有可能取值； (2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

2013 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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07平面向量★★★☆☆
EE，FF 是等腰直角 △ABC\triangle ABC 斜边 ABAB 上的三等分点，则 tan⁡∠ECF=\tan \angle ECF =（ ）
A.
1627\frac{16}{27}
B.
23\frac{2}{3}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
34\frac{3}{4}

2010 · 江西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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11平面向量★★★☆☆
一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为 τ1\tau_{1}，τ2\tau_{2}，τ3\tau_{3}，τ4\tau_{4}，则下列关系正确的为（ ）
A.
τ1>τ4>τ3\tau_{1} > \tau_{4} > \tau_{3}
B.
τ3>τ1>τ2\tau_{3} > \tau_{1} > \tau_{2}
C.
τ4>τ2>τ3\tau_{4} > \tau_{2} > \tau_{3}
D.
τ3>τ4>τ2\tau_{3} > \tau_{4} > \tau_{2}

2009 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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19三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，A=π6A = \frac{\pi}{6}，(1+3)c=2b(1 + \sqrt{3})c = 2b.
(1) 求 CC； (2) 若 CB→⋅CA→=1+3\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = 1 + \sqrt{3}，求 aa，bb，cc.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由正弦定理，bc=sin⁡Bsin⁡C\frac{b}{c}=\frac{\sin B}{\sin C}. 又 B=5π6−CB=\frac{5\pi}{6}-C，且 bc=1+32\frac{b}{c}=\frac{1+\sqrt3}{2}，所以
sin⁡(5π6−C)=1+32sin⁡C\sin\left(\frac{5\pi}{6}-C\right)=\frac{1+\sqrt3}{2}\sin C
展开左边得 12cos⁡C+32sin⁡C\frac12\cos C+\frac{\sqrt3}{2}\sin C，从而 cos⁡C=sin⁡C\cos C=\sin C. 因为 0<C<5π60<C<\frac{5\pi}{6}，所以 C=π4C=\frac{\pi}{4}.
\item 由正弦定理和 A=π6A=\frac{\pi}{6}、C=π4C=\frac{\pi}{4}，有 ac=sin⁡Asin⁡C=12\frac{a}{c}=\frac{\sin A}{\sin C}=\frac1{\sqrt2}. 再由已知，b=1+32cb=\frac{1+\sqrt3}{2}c. 由向量数量积，
CB→⋅CA→=abcos⁡C=c2⋅1+32c⋅22=1+34c2\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}=ab\cos C =\frac{c}{\sqrt2}\cdot\frac{1+\sqrt3}{2}c\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{1+\sqrt3}{4}c^{2}
因此 c2=4c^{2}=4，因边长为正，c=2c=2，进而 a=2a=\sqrt2，b=1+3b=1+\sqrt3. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16平面向量★★★☆☆
如图，正六边形 ABCDEFABCDEF 中，有下列四个命题：
① AC→+AF→=2BC→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{BC}； ② AD→=2AB→+2AF→\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AF}； ③ AC→⋅AD→=AD→⋅AB→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}； ④ (AD→⋅AF→)EF→=AD→(AF→⋅EF→)(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AF})\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD}(\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{EF}).
其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）

2008 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，点 OO 是 BCBC 的中点，过点 OO 的直线分别交直线 ABAB，ACAC 于不同的两点 MM，NN，若 AB→=mAM→\overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{AM}，AC→=nAN→\overrightarrow{AC} = n\overrightarrow{AN}，则 m+nm + n 的值为______.

2007 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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07数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 若 OB→=a1OA→+a200OC→\overrightarrow{OB} = a_{1}\overrightarrow{OA} + a_{200}\overrightarrow{OC}，且 AA，BB，CC 三点共线（该直线不过点 OO），则 S200S_{200} 等于（ ）
A.
100
B.
101
C.
200
D.
201

2006 · 江西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 OB→=a1OA→+a200OC→\overrightarrow{OB} = a_{1}\overrightarrow{OA} + a_{200}\overrightarrow{OC}，且 AA，BB，CC 三点共线（该直线不过点 OO），则 S200S_{200} 等于（ ）
A.
100100
B.
101101
C.
200200
D.
201201

2006 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
在 △OAB\triangle OAB 中，OO 为坐标原点，A(1,cos⁡θ)A(1,\cos\theta)，B(sin⁡θ,1)B(\sin\theta,1)，θ∈(0,π2]\theta\in\left(0,\dfrac\pi2\right]，则 △OAB\triangle OAB 的面积达到最大值时，θ=\theta=（ ）
A.
π6\frac\pi6
B.
π4\frac\pi4
C.
π3\frac\pi3
D.
π2\frac\pi2

2005 · 江西 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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18平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(2cos⁡x2,tan⁡(x2+π4))\boldsymbol{a}=\left(2\cos\dfrac x2,\tan\left(\dfrac x2+\dfrac\pi4\right)\right)，b=(2sin⁡(x2+π4),tan⁡(x2−π4))\boldsymbol{b}=\left(\sqrt2\sin\left(\dfrac x2+\dfrac\pi4\right),\tan\left(\dfrac x2-\dfrac\pi4\right)\right)， 令 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}. 求函数 f(x)f(x) 的最大值，最小正周期，并写出 f(x)f(x) 在 [0,π][0,\pi] 上的单调区间.

2005 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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