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17平面向量★★★☆☆
设点 PP 在单位圆的内接正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的边 A1A2A_1A_2 上，则 PA1→ 2+PA2→ 2+⋯+PA8→ 2\overrightarrow{PA_1}^{\,2}+\overrightarrow{PA_2}^{\,2}+\cdots+\overrightarrow{PA_8}^{\,2} 的取值范围是______.

2022 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，则 ∣a+b∣+∣a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| 的最小值是______，最大值是______.

2017 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 A−BCDA - BCD 中，AB=AC=BD=CD=3AB = AC = BD = CD = 3，AD=BC=2AD = BC = 2，点 MM，NN 分别为 ADAD，BCBC 的中点，则异面直线 ANAN，CMCM 所成的角的余弦值是______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
已知 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 是平面单位向量，且 e1⋅e2=12\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_2=\frac12. 若平面向量 b\boldsymbol{b} 满足 b⋅e1=b⋅e2=1\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{e}_2=1，则 ∣b∣=|\boldsymbol{b}|=______.

2015 · 浙江 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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07平面向量★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC，P0P_0 是边 ABAB 上一定点. 满足 P0B=14ABP_0B = \frac{1}{4}AB，且对于边 ABAB 上任一点 PP，恒有 PB→⋅PC→⩾P0B→⋅P0C→\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} \geqslant \overrightarrow{P_0B} \cdot \overrightarrow{P_0C}. 则（ ）
A.
∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}
B.
∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}
C.
AB=ACAB = AC
D.
AC=BCAC = BC

2013 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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17平面向量★★★☆☆
设 e1\boldsymbol{e}_{1}，e2\boldsymbol{e}_{2} 为单位向量，非零向量 b=xe1+ye2\boldsymbol{b} = x\boldsymbol{e}_{1} + y\boldsymbol{e}_{2}，xx，y∈Ry \in \mathbf{R}. 若 e1\boldsymbol{e}_{1}，e2\boldsymbol{e}_{2} 的夹角为 π6\frac{\pi}{6}，则 ∣x∣∣b∣\frac{|x|}{|\boldsymbol{b}|} 的最大值等于______.

2013 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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05平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是两个非零向量（ ）
A.
若 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|，则 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}
B.
若 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|
C.
若 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|，则存在实数 λ\lambda，使得 b=λa\boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a}
D.
若存在实数 λ\lambda，使得 b=λa\boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a}，则 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|

2012 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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15平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，MM 是 BCBC 的中点，AM=3AM = 3，BC=10BC = 10. 则 AB→⋅AC→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =______.

2012 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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07平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是两个非零向量（ ）
A.
若 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|，则 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}
B.
若 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|
C.
若 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|，则存在实数 λ\lambda，使得 b=λa\boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a}
D.
若存在实数 λ\lambda，使得 b=λa\boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a}，则 ∣a+b∣=∣a∣−∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|

2012 · 浙江 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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15平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，MM 是 BCBC 的中点，AM=3AM = 3，BC=10BC = 10，则 AB→⋅AC→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =______.

2012 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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17解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别为椭圆 x23+y2=1\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1 的焦点，点 AA，BB 在椭圆上. 若 F1A→=5F2B→\overrightarrow{F_{1}A} = 5\overrightarrow{F_{2}B}，则点 AA 的坐标是______.

2011 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
若平面向量 α\boldsymbol{\alpha}，β\boldsymbol{\beta} 满足 ∣α∣=1|\boldsymbol{\alpha}| = 1，∣β∣⩽1|\boldsymbol{\beta}| \leqslant 1，且以向量 α\boldsymbol{\alpha}，β\boldsymbol{\beta} 为邻边的平行四边形的面积为 12\frac{1}{2}，则 α\boldsymbol{\alpha} 和 β\boldsymbol{\beta} 的夹角 θ\theta 的取值范围是______.

2011 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(π3x+φ)f(x) = A \sin \left( \frac{\pi}{3} x + \varphi \right)，x∈Rx \in \mathbf{R}，A>0A > 0，0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}. y=f(x)y = f(x) 的部分图象如图所示，PP，QQ 分别为该图象的最高点和最低点，点 PP 的坐标为 (1,A)(1,A).
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期及 φ\varphi 的值； (2) 若点 RR 的坐标为 (1,0)(1,0)，∠PRQ=2π3\angle PRQ = \frac{2\pi}{3}，求 AA 的值.

2011 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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09平面向量★★★☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c\boldsymbol{c} 满足 (a−c)⋅(b−c)=0(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}) \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) = 0，则 ∣c∣|\boldsymbol{c}| 的最大值是（ ）
A.
1
B.
2
C.
2\sqrt{2}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2008 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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16平面向量★★★☆☆
已知 a\boldsymbol{a} 是平面内的单位向量，若向量 b\boldsymbol{b} 满足 b⋅(a−b)=0\boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = 0，则 ∣b∣|\boldsymbol{b}| 的取值范围是______.

2008 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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07立体几何初步★★★☆☆
若 PP 是两条异面直线 ll，mm 外的任意一点，则（ ）
A.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都平行
B.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都垂直
C.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都相交
D.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都异面

2007 · 浙江 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
若非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a−b∣=∣b∣\left|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right| = \left|\boldsymbol{b}\right|，则（ ）
A.
∣2b∣>∣a−2b∣\left|2\boldsymbol{b}\right| > \left|\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}\right|
B.
∣2b∣<∣a−2b∣\left|2\boldsymbol{b}\right| < \left|\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}\right|
C.
∣2a∣>∣2a−b∣\left|2\boldsymbol{a}\right| > \left|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|
D.
∣2a∣<∣2a−b∣\left|2\boldsymbol{a}\right| < \left|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right|

2007 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
如图，OO 是半径为 11 的球心，点 AA，BB，CC 在球面上，OAOA，OBOB，OCOC 两两垂直，EE，FF 分别是大圆弧 AB^\widehat{AB} 与 AC^\widehat{AC} 的中点，则点 EE，FF 在该球面上的球面距离是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 取单位向量 eA\boldsymbol{e}_A，eB\boldsymbol{e}_B，eC\boldsymbol{e}_C 分别沿 OAOA，OBOB，OCOC 方向，则它们两两垂直. 大圆弧 ABAB 的中点对应的单位向量为
eE=eA+eB2\boldsymbol{e}_E=\frac{\boldsymbol{e}_A+\boldsymbol{e}_B}{\sqrt2}
因为 OA⊥OCOA\perp OC，大圆弧 ACAC 的中点到 AA，CC 等距，故其单位向量为
eF=eA+eC2\boldsymbol{e}_F=\frac{\boldsymbol{e}_A+\boldsymbol{e}_C}{\sqrt2}
因而
eE⋅eF=12\boldsymbol{e}_E\cdot\boldsymbol{e}_F=\frac12
球面半径为 11，所以球面距离等于对应圆心角，设其为 θ\theta，则 cos⁡θ=12\cos\theta=\frac12，从而 θ=π3\theta=\frac\pi3. 因此选 B. \end{solution}
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
2π4\frac{\sqrt{2}\pi}{4}

2006 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15三角函数★★★☆☆
如图，函数 y=2sin⁡(πx+φ)y = 2\sin (\pi x + \varphi)，x∈Rx \in \mathbf{R}（其中 0⩽φ⩽π20 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}）的图象与 yy 轴交于点 (0,1)(0,1).
(1) 求 φ\varphi 的值； (2) 设 PP 是图象上的最高点，MM，NN 是图象与 xx 轴的交点，求 PM→\overrightarrow{PM} 与 PN→\overrightarrow{PN} 的夹角.

2006 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
如图，函数 y=2sin⁡(πx+φ)y = 2\sin (\pi x + \varphi)，x∈Rx \in \mathbf{R}，其中 0⩽φ⩽π20 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2} 的图象与 yy 轴交于点 (0,1)(0,1).
(1) 求 φ\varphi 的值； (2) 设 PP 是图象上的最高点，MM，NN 是图象与 xx 轴的交点，求 PM→\overrightarrow{PM} 与 PN→\overrightarrow{PN} 的夹角.

2006 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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10平面向量★★★☆☆
已知向量 a≠e\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{e}，∣e∣=1|\boldsymbol{e}| = 1，对任意 t∈Rt \in \mathbf{R}，恒有 ∣a−te∣⩾∣a−e∣|\boldsymbol{a} - t\boldsymbol{e}| \geqslant |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{e}|. 则（\quad）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 两边平方并利用 ∣e∣=1|\boldsymbol{e}|=1，得到对任意 t∈Rt\in\mathbf{R}，
∣a−te∣2−∣a−e∣2=t2−2ta⋅e+2a⋅e−1=(t−1)2+2(t−1)(1−a⋅e)⩾0|\boldsymbol{a}-t\boldsymbol{e}|^2-|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{e}|^2 =t^2-2t\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}-1 =(t-1)^2+2(t-1)(1-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})\geqslant0
令 t=1+ht=1+h，则 h2+2h(1−a⋅e)⩾0h^2+2h(1-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})\geqslant0，（h∈Rh\in\mathbf{R}）. 若 1−a⋅e≠01-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}\ne0，取充分小且符号相反的 hh，上式将小于零，矛盾. 所以 a⋅e=1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}=1. 因而
e⋅(a−e)=a⋅e−∣e∣2=1−1=0\boldsymbol{e}\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{e})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}-|\boldsymbol{e}|^2=1-1=0
又因 a≠e\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{e}，故 e⊥(a−e)\boldsymbol{e}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{e})，选 C. \end{solution}
A.
a⊥e\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{e}
B.
a⊥(a−e)\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{e})
C.
e⊥(a−e)\boldsymbol{e} \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{e})
D.
(a+e)⊥(a−e)(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{e}) \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{e})

2005 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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14平面向量★★★☆☆
已知平面上三点 AA，BB，CC 满足 ∣AB→∣=3\left|\overrightarrow{AB}\right| = 3，∣BC→∣=4\left|\overrightarrow{BC}\right| = 4，∣CA→∣=5\left|\overrightarrow{CA}\right| = 5，则 AB→⋅BC→+BC→⋅CA→+CA→⋅AB→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB} 的值等于______.

2004 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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