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106分平面向量★★★☆☆
已知 OO 为坐标原点，点 P1=(cos⁡α,sin⁡α)P_1=\left( \cos\alpha,\sin\alpha \right)，P2=(cos⁡β,−sin⁡β)P_2=\left( \cos\beta,-\sin\beta \right)，P3=(cos⁡(α+β),sin⁡(α+β))P_3=\left( \cos\left( \alpha+\beta \right),\sin\left( \alpha+\beta \right) \right)，A(1,0)A(1,0)，则（ ）
A.
∣OP1∣=∣OP2∣|OP_1|=|OP_2|
B.
∣AP1∣=∣AP2∣|AP_1|=|AP_2|
C.
OA→⋅OP3→=OP1→⋅OP2→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}
D.
OA→⋅OP1→=OP2→⋅OP3→\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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08平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(x+z,3)\boldsymbol{a}=(x+z,3)，b=(2,y−z)\boldsymbol{b}=(2,y-z)，且 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}. 若 xx，yy 满足不等式 ∣x∣+∣y∣⩽1|x|+|y|\leqslant1，则 zz 的取值范围为（ ）
A.
[−2,2][-2,2]
B.
[−2,3][-2,3]
C.
[−3,2][-3,2]
D.
[−3,3][-3,3]

2011 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a} = (\cos \alpha, \sin \alpha)，b=(cos⁡β,sin⁡β)\boldsymbol{b} = (\cos \beta, \sin \beta)，c=(−1,0)\boldsymbol{c} = (-1, 0).
(1) 求向量 b+c\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} 的长度的最大值； (2) 设 α=π4\alpha = \frac{\pi}{4}，且 a⊥(b+c)\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})，求 cos⁡β\cos \beta 的值.

2009 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16平面向量★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 33，且满足 0⩽AB→⋅AC→⩽60 \leqslant \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \leqslant 6，设 AB→\overrightarrow{AB} 和 AC→\overrightarrow{AC} 的夹角为 θ\theta.
(1) 求 θ\theta 的取值范围； (2) 求函数 f(θ)=2sin⁡2(π4+θ)−3cos⁡2θf(\theta) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) - \sqrt{3}\cos 2\theta 的最大值与最小值.

2007 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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09平面向量★★★☆☆
设 a=(4,3)\boldsymbol{a}=(4,3)，a\boldsymbol{a} 在 b\boldsymbol{b} 上的投影为 522\frac{5\sqrt{2}}{2}，b\boldsymbol{b} 在 xx 轴上的投影为 22，且 ∣b∣⩽14\left|\boldsymbol{b}\right|\leqslant14，则 b\boldsymbol{b} 为（ ）
A.
(2,14)(2,14)
B.
(2,−27)\left(2,-\frac{2}{7}\right)
C.
(−2,27)\left(-2,\frac{2}{7}\right)
D.
(2,8)(2,8)

2007 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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07平面向量★★★☆☆
设过点 P(x,y)P(x, y) 的直线分别与 xx 轴的正半轴和 yy 轴的正半轴交于 AA，BB 两点，点 QQ 与点 PP 关于 yy 轴对称，OO 为坐标原点，若 BP→=2PA→\overrightarrow{BP} = 2\overrightarrow{PA} 且 OQ→⋅AB→=1\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{AB} = 1，则点 PP 的轨迹方程是（ ）
A.
3x2+32y2=13x^{2} + \frac{3}{2} y^{2} = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）
B.
3x2−32y2=13x^{2} - \frac{3}{2} y^{2} = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）
C.
32x2−3y2=1\frac{3}{2} x^{2} - 3y^{2} = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）
D.
32x2+3y2=1\frac{3}{2} x^{2} + 3y^{2} = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）

2006 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
设过点 P(x,y)P(x, y) 的直线分别与 xx 轴的正半轴和 yy 轴的正半轴交于 AA，BB 两点，点 QQ 与点 PP 关于 yy 轴对称，OO 为坐标原点，若 BP→=2PA→\overrightarrow{BP} = 2\overrightarrow{PA} 且 OQ→⋅AB→=1\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{AB} = 1，则点 PP 的轨迹方程是（ ）
A.
3x2+32y2=13x^{2} + \frac{3}{2} y^{2} = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）
B.
3x2−32y2=13x^{2} - \frac{3}{2} y^{2} = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）
C.
32x2−3y2=1\frac{3}{2} x^2 - 3y^2 = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）
D.
32x2+3y2=1\frac{3}{2} x^2 + 3y^2 = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）

2006 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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16平面向量★★★☆☆
设向量 a=(sin⁡x,cos⁡x)\boldsymbol{a} = (\sin x, \cos x)，b=(cos⁡x,cos⁡x)\boldsymbol{b} = (\cos x, \cos x)，x∈Rx \in \mathbf{R}. 函数 f(x)=a⋅(a+b)f(x) = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最大值与最小正周期； (2) 求使不等式 f(x)⩾32f(x) \geqslant \frac{3}{2} 成立的 xx 的取值集.

2006 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知向量 a=(x2,x+1)\boldsymbol{a} = (x^2, x + 1)，b=(1−x,t)\boldsymbol{b} = (1 - x, t). 若函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} 在区间 (−1,1)(-1, 1) 上是增函数，求 tt 的取值范围.

2005 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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08立体几何初步★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 是直线，β\beta 是平面，给出下列命题：
① 若 a⊥ba \perp b，b⊥cb \perp c，则 a∥ca \parallel c； ② 若 a∥ba \parallel b，b⊥cb \perp c，则 a⊥ca \perp c； ③ 若 a∥βa \parallel \beta，b⊂βb \subset \beta，则 a∥ba \parallel b； ④ 若 aa 与 bb 异面，且 a∥βa \parallel \beta，则 bb 与 β\beta 相交； ⑤ 若 aa 与 bb 异面，则至多有一条直线与 aa，bb 都垂直.
其中真命题的个数是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2005 · 湖北 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知向量 a=(x2,x+1)\boldsymbol{a} = (x^2, x + 1)，b=(1−x,t)\boldsymbol{b} = (1 - x, t)，若函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} 在区间 (−1,1)(-1, 1) 上是增函数，求 tt 的取值范围.

2005 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19平面向量★★★☆☆
如图，在 Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 中，已知 BC=aBC = a，若长为 2a2a 的线段 PQPQ 以点 AA 为中点，问 PQ→\overrightarrow{PQ} 与 BC→\overrightarrow{BC} 的夹角 θ\theta 取何值时 BP→⋅CQ→\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{CQ} 的值最大？并求出这个最大值.

2004 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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06平面向量★★★☆☆
四面体 ABCDABCD 四个面的重心分别为 EE，FF，GG，HH，则四面体 EFGHEFGH 的表面积与四面体 ABCDABCD 的表面积的比值是（ ）
A.
127\frac{1}{27}
B.
116\frac{1}{16}
C.
19\frac{1}{9}
D.
18\frac{1}{8}

2004 · 湖北 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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19平面向量★★★☆☆
如图，在 Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 中，已知 BC=aBC=a，若长为 2a2a 的线段 PQPQ 以点 AA 为中点，问 PQ→\overrightarrow{PQ} 与 BC→\overrightarrow{BC} 的夹角 θ\theta 取何值时 BP→⋅CQ→\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ} 的值最大？ 并求出这个最大值.

2004 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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